基于知识粒度的不完备决策表的属性约简算法

乔丽娟，徐章艳，谢小军，朱金虎，陈晓飞，李娟

(1.广西师范大学 广西多源信息挖掘与安全重点实验室,广西 桂林 541004； 2.广西师范大学 计算机科学与信息工程学院,广西 桂林 541004)

基于知识粒度的不完备决策表的属性约简算法

乔丽娟1, 2，徐章艳1, 2，谢小军1, 2，朱金虎1, 2，陈晓飞2，李娟2

(1.广西师范大学 广西多源信息挖掘与安全重点实验室,广西 桂林 541004； 2.广西师范大学 计算机科学与信息工程学院,广西 桂林 541004)

摘要：知识粒度是属性约简的有效方法，但对于大型的决策表，计算知识粒度过于费时，算法效率不高。在引入粒度差别矩阵后，设计了一个计算粒度差别矩阵中条件属性出现频率的函数，有效地降低粒度差别矩阵的存储空间，根据此函数设计了一个高效属性约简算法。新算法使得时间复杂度与空间复杂度都降为O(K|C||U|)(其中K=max{|Tc(xi)|, xi∈U}和O(|U|)。最后通过实例仿真说明了此算法的高效性和可行性。

关键词：属性约简；知识粒度；不完全决策表；条件属性频率；差别矩阵；启发信息

中文引用格式：乔丽娟，徐章艳，谢小军，等.基于知识粒度的不完备决策表的属性约简算法[J]. 智能系统学报， 2016, 11(1): 129-135.

英文引用格式：QIAO Lijuan, XU Zhangyan, XIE Xiaojun，et al. Efficient attribute reduction algorithm for an incomplete decision table based on knowledge granulation[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2016, 11(1): 129-135.

波兰的数学家Pawlak在20世纪80年代提出的粗糙集是一种新型的用来处理不完全、不精确与不相容的数学工具和理论[1-2]。经过了30多年的研究和发展，粗糙集理论已在知识发现、数据挖掘、模式识别等领域得到了大量应用[3-4]。属性约简作为粗糙集理论的重要研究内容，已被广大学者所研究，提出了围绕完备决策表的属性约简算法，但是现实生活中的数据往往存在误差，缺失及多源等特征。如何对不完备决策表进行直接处理，已成为粗糙集理论的一个研究热点[4]。近年来针对不完备决策表的研究也取得了显著的进步，已有学者提出很多有效的不完备决策表属性约简算法[5-11]。知识粒度[12-13]作为粗糙集理论中度量属性约简的重要方法之一，被广泛运用于不完备属性约简算法。文献[5]以属性重要性为启发信息,设计了一个基于知识粒度的属性约简算法[5];文献[6]通过不断向核属性集中添加属性的方法，设计出一种基于相对知识粒度的不完备决策表属性约简算法[6]；文献[7]定义了一个粒度差别矩阵，进而设计了基于知识粒度的不完备决策表的属性约简算法[7],其时间复杂度为max{O(|C|2|U||Upos|)，O(|K||C|U|)}，其中K=max{|TC(xi)|,xi∈U},其空间复杂度为max{O(|C||U||Upos|),O(|U|)};文献[8]给出了一个计算条件属性频率的公式，设计一个基于知识粒度的属性约简算法[8]；文献[9] 设计了一种基于对象矩阵的属性约简算法[9]；文献[11]提出简化差别矩阵定义，设计了一种快速的属性约简算法[11]；文献[12]中根据区分对象对集的思想，设计了基于正区域的属性约简算法[12]；文献[13]根据粒计算的思想构建了粒矩阵，在此基础上，设计了属性约简算法。文献[14]在粒计算属性约简算法的基础上进行了改进，得到一个新的算法。上述算法大多因为要多次计算知识粒度，导致计算效率都不太理想，为此设计出基于知识粒度的高效属性约简算法具有非常重要的现实意义[5]。

差别矩阵作为粗糙集理论的重要技术之一，被广泛应用，但是求解差别矩阵费时，本文引入了基于粒度的差别矩阵，利用条件属性在区分对象时出现频率的属性约简思想，设计一个基于粒度差别矩阵计算属性频率的启发函数。

1粗糙集基本概念

在五元组中，如果至少有一个属性a∈C，使得Va包含空值(用*表示)，即至少有一个属性a∈U，存在一个a∈U，使得f(x,a)=*，称之为不完备决策表。

定义2[3]在不完备决策表s=(U,C,D,V,f)中，令B⊆C，定义U上的容差关系T(B)为T(B)={(x,y)∈U×U|∀b∈B}，f(x,b)=f(y,b)∨f(x,b)=*∨f(y,b)=*}。用TB(x)表示在B中与x具有容差关系的全体对象集{y∈U|(x,y)∈T(B)}。

性质1[16]设S=(U，C，D，V，f)是一个不完备信息系统，知识B⊆C的知识粒度定义为GD(B)，则1/|U|≤GD(B)≤1。

性质2[16]设S=(U,C,D,V,f)是一个不完备信息系统，其中P,Q⊆C，如果∀i∈{1,2,…,|U|}有TP(xi)⊆TQ(xi)，则GD(P)≤GD(Q)。

知识粒度可以描述知识的区分能力,知识粒度越小,其区分能力越强，反之区分能力越弱[5]。

定义4[5]在不完备决策表S=(U,C,D,V,f)中 , 知识B(B⊆C) 是C关于D的一个知识粒度的属性约简,当且仅当B满足条件:

1)GD(B)=GD(C);

2)∀b∈B⟹GD((B-{b}))≠GD(C)。

2粒度差别矩阵相关概念

定义6[11]设在一个不完备决策表S=(U,C,D,V,f)中，U=Upos∪Uneg,定义粒度差别矩阵M=(m(i,j)),其元素定义如下：

式中：k=1,2,…,r。

定义7[7]设M=(m(i,j))为不完备决策表S=(U,C,D,V,f)的粒度差别矩阵,∀B⊆C,若B满足：

1)∀∅≠m(i,j)∈M,有B∩m(i,j)≠∅;

2)∀a∈B,B′=B-{a}均不满足(1)。

则称B是C关于D的一个属性约简，此约简记为基于粒度差别矩阵的属性约简。

证明由定义1知：命题显然成立。

定理2[7]基于知识粒度的属性约简定义与基于粒度差别矩阵的属性约简定义是等价的。

定理2说明基于知识粒度的属性约简可以转化到粒度差别矩阵上进行。

针对不完备决策表，文献[7]中给出了一个基于粒度差别矩阵的属性约简算法，其时间复杂度为max{O(|C|2|Upos||U|),O(K|U||C|)}。算法对粒度差别矩阵进行遍历，若只包含一个条件属性就将其放入属性约简中，并去掉差别矩阵中任何含有该条件属性的差别元素,直至差别矩阵为空。该算法虽然有效降低了时间复杂度，但是构造粒度差别矩阵仍然需要占用大量的空间，对于处理大型数据集仍然具有一定的难度。

经分析，算法中在粒度差别矩阵中出现的条件属性才是能区分对象的条件属性，由于构造粒度差别矩阵耗费空间，参考文献[16]的方法，设计一种计算粒度差别矩阵中含有的条件属性频率的函数，然后给出计算该函数的快速算法，无须构造粒度差别矩阵就可以将其中能有效区分对象的条件属性找出，以降低算法的时间和空间复杂度。

3计算属性频率的启发函数

根据定义6，粒度差别矩阵中包含的条件属性可由两部分产生，设对象都在Upos里产生的条件属性的个数为N1，则

(1)

两个对象一个在Upos中，另一个在Uneg中，产生的条件属性频率为N2，则

(2)

计算条件属性的频率函数|FB(U,a)|如下：

(3)

证明由粒度差别矩阵的定义知，计算Ai/{a}={Ai1,Ai2,…,Aik}产生的条件属性频率，可分两部分计算，一种是对象都在Upos中;另一种是一个在Upos中，而另一个在Uneg中的。

2)若一个对象在Upos中，另一个对象在Uneg中，由划分的定义知，同属一个集合里的两个对象值相等，即只有不同划分集合里才有可能产生条件属性频率，且Upos和Uneg之间要求决策值不同，故需要对每个划分集合里属于Upos的集合对D划分，同时属于Uneg的集合也对D划分。所以，Negj/D划分集合里每个集合与posi/D划分集合里对于决策属性在不同划分集合里就能产生条件属性频率。

为了方便叙述，假设将Ai{b}所有集合中属于正域的所有集合对D划分posi/D存放在一个矩阵中，矩阵的行表示每一个非空集合对D的划分，矩阵的列表示决策值相同的集合，生成的矩阵为

(4)

同理，将Ai{b}所有集合中属于负域的所有集合对D划分Negj/D存放在另一个矩阵中，生成的矩阵为

(5)

根据定义6可知，只有属性值不同且不为缺省值的才能包含条件属性，所以在本文的所有算法中，对象U对属性a的划分，将含有缺省值的放在划分的最后一个集合里，不予处理。

4属性约简算法

首先，对不完备决策系统中的对象进行划分。

算法1论域U对属性a的划分

输入不完备决策表S=(U,C,D,V,f)，C={a1,a2,…,am}，U={x1,x2,…,x|U|}

输出U/a={A1,A2,…,At}

1)t=1；At={xi}；

2)for(j=2;j<|U|+1;j++)。

若任一条件属性ai∈C(i=1,2,…,|C|)均有f(xi,ai)=f(xj,ai)≠*，则At=At∪{xj}；否则t=t+1;At={xj}；(其中在此求划分时*单独放到一块)。

3)输出U/a={A1,A2,…,At}。

算法1中，1)、3)时间复杂度忽略不计，2)的时间复杂度为O(|U|)，则算法2的时间复杂度是O(|U|)，空间复杂度为O(|U|)。

算法2求条件属性频率的函数

输入U/A={A1,A2,…,At}，条件属性的最大值和最小值分别标记为Mb,mb；

输出U/(A∪{b})，条件属性频率函数|Fa(U,b)|；

1)|FA(U,b)|=0，U/(A∪{b})=∅；

2)对∀Ai={x1,x2,…,xj}∈U/A,以静态链表为存储空间，依次放入对象x1,x2,…,xj;令表头指针指向xi;

①建立Mb-mb+2空队列，令front[k]和end[k](k=0,1,2,…,Mb-mb+1)分别为第k个队列的头指针和尾指针，将链表中的对象x∈Ai按链表中的次序分配到第f(x,b)-mb个队列中去，将链表中的对象值为*的对象分配到*队列中。

②对除*队列的每个非空队列作如下处理：

3)输出U/(A∪{b})，条件属性总频率数|FA(U,b)|。

算法时间空间复杂度分析：算法2中1)的时间复杂度忽略不计，2)①的时间复杂度为O(|Ai|)，设posi/{b}={Ai1,Ai2,…,Aik}，则2)②a时间复杂度为O(Aij)(j=1,2,…,k)，2)②b时间复杂度为O(Aij)，即2)②时间复杂度为O(|Ai|)，2)时间复杂度O(|Ai|)+O(|A2|)+…+O(|Ai|)≤O(|U|)。故算法2的最坏时间复杂度为O(|U|)，同理可得最坏空间复杂度为O(|U|)。

算法3以条件属性的频率为启发信息的属性约简算法

输入不完备决策表S=(U,C,D,V,f),C=(c1,c2,…,cm),U={x1,x2,…,xn}；

输出属性约简Red(C)。

2)将Ki按从小到大运用快速排序方法得到

|Ki1|≤|Ki2|≤…≤|Kim|，它们对应的属性为ci1，ci2,…,cim令Red(C)={ci1}；

3)for(k=2,k

由算法3计算；|Fred(U,ci(k-1))|

4)输出属性约简Red(C)。

算法正确性分析：若|FRed(U,ci(k-1))|=0，即当前属性不能将两个对象区分开，则RRed∪{cik}=RRed，则由算法3知，当输出约简Red(C)时，有RC=RRed。由定理2知，算法3求出的属性约简就是基于知识粒度的属性约简。

算法时间复杂度分析：算法3的1)由文献[11]知时间复杂度为O(K|C||U|)(其中K=max{|Tc(xi)|,xi∈U}),空间复杂度为O(|U|)。2)的时间复杂度为O(|C|)+O(|U|),空间复杂度为O(|U|)(由算法1的复杂度分析可得)。3)的时间复杂度为O(|C||U|),空间复杂度为O(|U|)。故算法3的时间复杂度为O(K|C||U|)(其中K=max{|TC(xi)|,xi∈U},空间复杂度为O(|U|)。

5实例分析

为了证明算法的可行性，以文献[16]中的不完备决策表1为例子进行相应说明。

表1　不完备决策表

为方便计算，将属性值从左至右简记为P、M、S、X，则该表的条件属性为C={P,M,S,X}。

由算法3 1)求得各属性的知识粒度分别是：

|K1|=GD(P)=(4+4+6+4+6+4)/36=28/36;

|K2|=GD(M)=(6+6+6+6+6+6)/36=36/36;

|K3|=GD(S)=(5+5+5+5+5+1)/36=26/36;

|K3|=GD(X)=(3+3+4+4+4+6)/36=24/36;

Upos={x1,x2,x3},Uneg={x4,x5,x6}

由2)排序|K4|≤|K3|≤|K1|≤|K2|，他们对应的属性为X、S、P、M，则有Red(C)={X}，RC=∅。

由3)计算|F∅(U,X)|=6，计算的|FX(U,S)|=6，计算的|F{X,S}(U，P)|=1，计算的|F{X，S，P}{U,M}|=0，算法结束，输出约简Red(C)={X,S,P}。

由算法2求|FRed(X)|。

输入U/∅={x1,x2,x3,x4,x5,x6}

由算法2，2)的2)①对A1={x1,x2,x3,x4,x5,x6}求得：

front[1]→x1→x2→end[1]；

front[2]→x3→x4→x5→end[2]；

front[*]→x6→end[*]；

对第1个非空队列有pos1={x1,x2},Neg1=∅；

由算法2，2)的②计算每个非空队列中的posi/D。

每个非空队列中的Negi/D：

对A*={x6},因A*不能区分对象，故无需计算。

故|F∅(U，X)|=2N1+N2=2*2+2=6,

求|FX(U,S)|。

输入U/(X)={{x1,x2},{x3,x4,x5}}

由算法2 2)的①对A1={x1,x2}求得front[1]→x1→x2→end[1];

对其划分有pos1={x1,x2},Neg1=∅;

易知，|FX(U,S)|1=0,

对A2={x3,x4,x5}求得

front[1]→x3→end[1]；

front[2]→x4→x5→end[2]；

对第1个非空队列有pos1={x3},Neg1=∅;

易知N2=0+0+0+1*3+0+1*3=6

|FX(U,S)|2=2N1+N2=0+6=6

|FX(U,S)|=|FX(U,S)|1+|FX(U,S)|2=6

输入U/(X∪({S})={{x1,x2},{x3},{x4,x5}由算法2的2)①对A1={x1,x2}求得

front[1]→x1→end[1]；

front[2]→x2→end[2]；

对第1个非空队列有pos1={x1}，Neg1=∅;

对第2个非空队列pos2={x2}，Neg2=∅。

故|F{X,S}(U,P)|1=1。

对A2={x3}求

front[1]→x3→end[1];

易知，|F{X,S}(U,P)|2=0

对A3={x4,x5}求得

front[1]→x4→end[1];

front[*]→x5→end[*];

易知，|F{X,S}(U,P)|3=0，

输入U/({X,S}∪{P})={{x1},{x2},{x4}}

求得|F{X,S,P}(U,M)|=0。

实例说明，该约简与文献[5]相同。新算法不仅通俗易懂，且在粒度差别矩阵的基础上大大减少存储空间，且大大提高了算法收敛的时间速度，即新算法是一个高效可行的属性约简算法。

6实验对比

为了更好地说明新算法比其他同类算法更具有有效性和实用性，选用UCI机器学习数据库中的6个数据集：Credit、Car、Hepatitis、Soybean-large、Vote和Wine进行实验。选取比较新的算法进行对比，考察新算法的高效性，分别与文献[17]、文献[18]、文献[11]进行对比，文献[17]是在差别矩阵的基础上提出的属性约简算法，文献[17]算法运行时间记为t1，文献[18]是基于冲突域的属性约简算法，算法运行时间记为t2，文献[11] 算法运行时间记为t3，本文算法运行时间记为tnew，对比结果见表2。为了增强实验结果的可靠性，本文所取的最终时间为 7次实验结果的平均值。实验运行的环境为：CPU为AMD，2.00 GB内存，在Visual Stdio2010平台。

表2　UCI数据集信息

图1　UCI数据集对比Fig.1　The comparison of UCI data sets

表2中的数据集,|C|代表条件属性个数,|U|代表对象个数。

从表2 中的实验数据可以看出，对于小的数据集({Hepatitis,15,199}，{Wine,14,178})上,对比的4种算法的运行时间相差不大。但是对于较大的数据集，运行时间就相差很大，而且随着数据集的扩大，新算法的运行时间相对于其他3种算法的增长幅度小得多，表明新算法具有较好的可扩展性。

7结束语

在决策表中，知识粒度是有效进行属性约简的方法，以往的属性约简算法由于计算知识粒度浪费了大量时间，算法效率不高。因此，本文设计一个基于知识粒度的计算条件属性频率的启发函数，以知识粒度为启发信息，提出新的属性约简算法，大大降低了算法的时间复杂度。在以后的研究中，可以将计算属性频率的思想利用到其他属性约简的方法中，如相容矩阵、差别矩阵等，也可进一步应用到规则获取中。

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Efficient attribute reduction algorithm for an incomplete decision table based on knowledge granulation

QIAO Lijuan1, 2, XU Zhangyan1, 2, XIE Xiaojun1, 2, ZHU Jinhu1, 2, CHEN Xiaofei2, LI Juan2

(1.Guangxi Key Laboratory of Multi-source Information Mining & Security, Guangxi Normal University, Guilin 541004, China; 2. College of Computer Science and Information Technology, Guangxi Normal University, Guilin 541004, China)

Abstract：The use of knowledge granularity is an effective attribute reduction approach. But for a large decision table, computing knowledge granularity is so time-consuming that the algorithm is not efficient for practical use.After the introduction of the discernibility matrix of granularity, a function was designed for calculating the occurrence frequency of condition attributes in the matrix. In this paper, we design an efficient attribute reduction algorithm based on the granularity discernibility matrix. The new algorithm reduces the time and space complexities to O(K|C||U|) (K=max{|Tc(xi)|, xi∈U}) and O(|U|), respectively. The results from our simulation example verify that the proposed algorithm is feasible and highly efficient.

Keywords：attribute reduction; knowledge granularity; incomplete decision table; condition attribute frequency; discernibility matrix; heuristic information

DOI:10.11992/tis.201506029

收稿日期：2015-06-16. 网络出版日期：2015-12-29.

基金项目：国家自然科学基金资助项目(61262004,61363034,60963008);广西自然科学基金资助项目(2011GXNSFA018163);大学生创新资助项目(201410602099).

通信作者：乔丽娟. E-mail：347671379@qq.com.

中图分类号：TP18

文献标志码：A

文章编号：1673-4785(2016)01-0129-07

作者简介：

乔丽娟，女，1988年生，硕士研究生，主要研究方向为数据挖掘及粗糙集理论。

徐章艳，男，1972年生，教授，博士，主要研究方向为数据挖掘、模糊集、粗糙集理论。主持国家自然科学基金项目1项，参与国家自然科学基金项目2项，主持省部级科研项目1项；厅局级项目2项；主持校级项目2项。发表学术论文被SCI检索3篇，被EI检索5篇。

谢小军，男，1990年生，硕士研究生，主要研究方向为数据挖掘及粗糙集理论。

网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20151229.0837.020.html