改进的Vague值相似度及多准则决策方法

兰　蓉, 朱倩澜

(西安邮电大学 通信与信息工程学院， 陕西 西安 710121)

改进的Vague值相似度及多准则决策方法

兰蓉, 朱倩澜

(西安邮电大学 通信与信息工程学院， 陕西 西安 710121)

摘要:为了区分Vague值的相似性，提出一种基于Vague值的区间中点值的相似度量。考虑隶属度与非隶属度间的运算关系,构成区间中点值，在基于Vague值相似度量的公理化条件的基础上，将隶属度、非隶属度及Vague值的区间中间值3个因素结合起来，构成了一个改进的相似度量公式。与已有的相似度量进行仿真比较，结果表明该度量能有效区分Vague值数据。将该度量应用于多准则决策问题，实例验证了该度量的有效性。

关键词:Vague值；相似性；相似度量；多准则决策

Vague集理论[1]描述了元素支持或反对隶属集合的证据，并且考虑了除支持和反对以外的未知部分。因此，对于不确定信息，Vague集理论可以对考察对象进行准确的描述。若要将Vague集理论应用于实践中，相似度量是必不可少的工具。Vague值的相似度量公式可以区分Vauge值间的相似性，在信息处理及选择、模式识别等领域中发挥了积极的作用。

结合Vague值的定义及隶属度和非隶属度间的运算关系，成为构造相似度量公式重要方法。文献[2]提出基于记分函数的相似度量，为研究新的度量及应用提供了方法，但该度量无法完全满足相似度量的公理化条件。文献[3]提出的相似度量公式满足了公理化条件，但对Vague值的相似性的区分能力较弱。文献[4]通过Vague值间的运算得到新的真、假隶属度以及记分函数，并对这些参数加权平均，但未充分地考虑每个参数的权重，使得对数据区分不够准确。文献[5]中的度量结合了Vague值的真假隶属度，犹豫度以及记分函数，较文献[3]有所改进，但仍无法区分普遍Vague值。文献[6]提出相似度量是基于最大最小值，不确定性较大，使得对数据区分不合理。文献[7]的公式较已有的相似度量公式有所改进，但对于一些特殊Vague值的相似性仍无法区分。本文将针对已有的相似度量无法有效区分Vague值的相似性的不足，参考已有的度量，在综合分析相似度量函数公理化条件的基础上，把真隶属度、假隶属度与区间中点相结合，构成一个基于区间中点的改进相似度量公式，并参考文献[7]和文献[8]中的多准则决策方法，将改进的度量应用于多准则模糊决策中。

1Vague值(集)的相关知识

定义1[1]已知论域U(非空集合)，x是论域U中元素，论域U上的Vague集A是由x分别通过隶属函数tA:U→[0,1]和fA:U→[0,1]映射得到真、假隶属度数对集，即A可定义为

A={〈x,tA(x),fA(x)〉: x∈U}。

其中，0≤tA(x)+fA(x)≤1(x∈U)。称tA(x)为Vague集A的真隶属函数，即支持x属于A的证据的隶属度下界；称fA(x)为Vague集A的假隶属函数，表示反对x属于A的证据的隶属度下界。称

πA(x)=1-tA(x)-fA(x)

为犹豫度。显然，0≤πA(x)≤1。

定义2[1]若x∈U，则称[tx,1-fx]为Vague值，记为x=[tx,1-fx]，tx为x的真隶属度，fx为x的假隶属度。

设x=[tx,1-fx]和y=[ty,1-fy]为2个Vague值，那么，x和y之间具有如下运算关系。

x≤y ⟺ tx≤ty,且fx≥fy,

x=y ⟺ tx=ty,且fx=fy。

x∨y=[max{tx,ty},max{1-fx,1-fy}],

x∧y=[min{tx,ty},min{1-fx,1-fy}]。

2Vague值间改进的相似度量公式

2.1Vague值相似度量的公理化条件

定义相似度量的公理化条件如下。

定义3若x=[tx,1-fx]，y=[ty,1-fy]，z=[tz,1-fz]为Vague值，则相似度量I(x,y)应满足条件

(1) 0≤I(x,y)≤1。

(2) I(x,y)=I(y,x)。

(4) I(x,y)=1当且仅当x=y。

(5) I(x,y)=0当且仅当

x=[1,1]且y=[0,0]，

或者

x=[0,0]且y=[1,1]。

(6) 如果x≤y≤z，那么

I(x,z)≤min{I(x,y),I(y,z)}。

2.2基于区间中点的Vague值相似度量

Vague值实质上是区间[0,1]的1个子区间，比较2个Vague值的相似性，亦即比较2个区间段相似性，且Vague值之间具有运算关系。因此，可以根据这种运算关系改进相似度量函数。本文将给出包含区间中点的相似度量公式，达到改进相似度量的效果。

定理1设x=[tx,1-fx]和y=[ty,1-fy]为2个Vague值，它们之间的相似度量公式定义为

(1)

其中

证明只需证明式(1)满足定义3即可。

(1) 因为0≤3|tx-ty|≤2+tx+ty，所以

同理可得

因此

亦即

0≤Inew(x,y)≤1。

(2) 将x,y代入公式即可证

Inew(x,y)=Inew(y,x)。

(3) 通过计算可知

将其分别代入式(1)中，即

(4) 若Inew(x,y)=1，则

而当x≠y时，有

|tx-ty|>0,2+tx+ty>0,

|fx-fy|>0,2+fx+fy>0,

|mx-my|>0,2+mx+my>0。

所以，Inew(x,y)=1当且仅当x=y。

(5) 若Inew(x,y)=0，则

又因为

而且

0≤tx+fx≤1,0≤ty+fy≤1。

所以只可能同时成立

另因

0≤|tx-ty|≤1,

0≤|fx-fy|≤1,

0≤|mx-my|≤1,

所以,必然同时成立

|tx-ty|=1,

|fx-fy|=1,

|mx-my|=1。

所以，Inew(x,y)=0当且仅当

x=[1,1], 且y=[0,0],

或者

x=[0,0],且y=[1,1]。

(6) 如果x≤y≤z，亦即x⊆y⊆z，则

tx≤ty≤tx，

fx≥fy≥fz,

mx≤my≤mz。

由式(1)得

Inew(x,y)-Inew(x,z)=

亦即

Inew(x,y)≥Inew(x,z)。

同理可证

Inew(y,z)≥Inew(x,z)。

因此成立

Inew(x,z)≤min {Inew(x,y),Inew(y,z)}。

综上可知，式(1)满足定义3，是Vague值之间的一种相似度量。

3数据分析和比较

为了验证本文相似度量公式的性能，以Matlab2011为实验工具，选取具有代表性的数据，将已有的相似度量公式IC(x,y)[2]，IDWB(x,y)[7]，ILYH(x,y)[9]，IFJL(x,y)[10]，IXFS(x,y)[11]，IJW(x,y)[12]，ICJM(x,y)[13]和Inew(x,y)进行对比仿真，将能否区分Vague值的相似性作为判断指标。对比结果如表1所示。

由表1可见，由相似度量公式IC(x,y)算得[0,1]和[0.5,0.5]与[0.5,0.8]和[0.4,0.9]这2组Vague值的相似性为1，与定义3中的条件(4)不相符。ILYH(x,y)对于Vague值[0,1]和[0.5,0.5]与[0.5,0.5]和[1,1]的相似性,以及Vague值[0.5,0.8]和[0.4,0.9]与[0.5,0.8]和[0.4,0.7]的相似性没有区分。IJW(x,y)和IDWB(x,y)较已有公式有所改善，但均未区分Vague值在[0,0]和[0,1]与[0,1]和[1,1]相似性，且公式复杂，不便于求解。已有公式均未将Vague值[0,0]和[0,1]与[0,1]和[1,1]的相似性,以及Vague值[0.5,0.5]和[1,1]与[0,0]和[0.5,0.5]的相似性区分，而Inew(x,y)可以对上述数据有效区分。

表1　不同相似度量公式之间两个Vague值的对比

综上所述，Inew(x,y)在满足相似度量公理化条件的前提下，对Vague值数据的区分更为有效。

4多准则模糊决策的实例分析

为进一步说明Inew(x,y)的有效性，将其应用于多准则决策的研究。

4.1多准则模糊决策的相关知识

已知决策方案集A={A1,A2,…,Am},约束条件集C={C1,C2,…,Cn}，决策方案集矩阵Am×n为

其中，tij表示Ai属于约束集Cj的程度，fij表示Ai不属于约束集Cj的程度,且

0≤tij+fij≤1(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)。

在约束条件Cj下，理想方案集为

V={(C1,V1),(C2,V2),…,(Cn,Vn)}。

(2)

其中

(C1,V1)={Cj,[t1j,1-f1j]∧(∨)

[t2j,1-f2j]∧(∨)…

∧(∨)[tmj,1-fmj]}(j=1,2,…,n),

而∧或∨取决于实际情况以及约束条件集Cj。

4.2最优决策的线性规划模型

在实际中，约束条件集中的各个条件的重要性不同。因此，对于约束条件集C，需要根据其重要性给予权值，设约束集的权值分别为w1,w2,…,wn。

设约束条件Cj的Vague值为[ρj,1-τj]，记

采用最优决策的线性规划模型[7]

WC(Ai)=w1I(Ai1,V1)+w2I(Ai2,V2)+

…+wmI(Aim,Vm)。

(3)

其中

w1+w2+…+wn=1。

WC(Ai)的值越大，表明决策方案越好。

4.3实例分析

设有3种汽车品牌A1,A2和A3，方案集可表示为

A={A1,A2,A3}。

假设在选择过程中仅需要考虑性能、外观及安全性等3种约束条件，约束集可表示为

C={C1，C2，C3}。

为了验证公式(1)的准确性，采用文献[7]的实例数值。w1,w2,w3分别为约束集的权值。

已知方案Ai满足约束条件Cj的矩阵A3×3为

约束条件Cj(j=1,2,3)为

[ρj,1-τj]j=([0.25,0.75],

[0.35,0.60],[0.30,0.35])。

由实际情况可知，在选购汽车时，性能、外观及安全性都为重要因素，理想方案集应该尽量满足约束条件集。因此，取算子为“∨”理想方案集，取算子“∧”为负理想方案集。

取算子“∨”，由式(2)得理想方案集

V=([0.80,0.90],[0.75,0.95],

[0.80,0.80])。

根据改进的相似度量式(1)可得，各备选方案Aij与理想方案V的相似性构成矩阵

且由Cj可得线性规划模型

0.25≤w1≤0.75,

0.35≤w2≤0.60,

0.30≤w3≤0.35，

w1+w2+w3=1。

为了便于比较实验结果，权值与文献[7]中取值一样，即取

w1=0.25, w2=0.45, w3=0.30。

由于

WC(A1)=0.975 2×0.25+0.797 6×0.45+

1×0.30=0.902 7,

WC(A2)=0.967 0×0.25+0.867 3×0.45+

0.661 9×0.30=0.830 6,

WC(A3)=0.597 6×0.25+1×0.45+

0.842 4×0.30=0.852 1，

根据计算结果可知，方案A1是最优方案。

取算子“∧”，由式(2)可得负理想方案

V′=([0.40,0.55],[0.60,0.75],

[0.45,0.50])。

由相似度量公式Inew(x,y)可得，备选方案Aij与负理想方案V′的似相性构成矩阵

同样，为了便于分析，取权值

w1=0.25, w2=0.45, w3=0.30。

由于

WC(A1)=0.622×0.25+1×0.45+

0.661 9×0.30=0.804 1,

WC(A2)=0.63×0.25+0.930 1×0.45+

1×0.30=0.876 0,

WC(A3)=1×0.25+0.797 6×0.45+

0.818 5×0.30=0.854 4，

根据计算结果可知，方案A2为负理想方案集。

综上所述，方案A1为最优方案与文献[7]中的结果一致，且得到了负理想方案集A2。本文的方法不但改进了相似度量公式，并且通过实例验证了相似度量公式Inew(x,y)的有效性。

5结语

在已有相似度量公式的基础上，构成一种结合Vague值的区间中点的相似度量公式，论证了改进相似度量函数满足相似度量的公理化条件。对比仿真结果表明，改进的相似度量公式对数据相似性的区分比已有的相似度量公式好，将其应用于多准则模糊决策中，可以验证改进的相似度量公式是有效的。

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[责任编辑:祝剑]

Improvedsimilaritymeasurementonvaguevalueandthemulti-criteriadecisionmakingmethod

LANRong,ZHUQianlan

(SchoolofCommunicationandInformationEngineering,Xi’anUniversityofPostsandTelecommunications,Xi’an710121,China)

Abstract:In order to compare the similarity of vague values, a similarity measure formula including the medium value of vague is proposed. Considering the relational operator of vague values, based on the axiomatic definitions of similarity measurement, a new similarity measure formula is formed to combine the degree of membership, fake degree of membership, and the medium of vague value. Compared with existing similarity measurements, the new formula can effectively distinguish vague values. When the new formula is applied to multiple criteria decision, its effectiveness can be verified through case analysis.

Keywords:vague value， the similarity of vague value， similarity measure， multiple criteria decision

doi:10.13682/j.issn.2095-6533.2016.03.018

收稿日期：2015-12-28

基金项目：国家自然科学基金资助项目(61571361)；陕西省科技计划资助项目(2014KJXX-72)；陕西省教育厅科学研究计划资助项目(15JK1658)

作者简介：兰蓉(1977-)，女，博士，副教授，从事决策分析及图像处理研究。E-mail：ronglanlogic@163.com 朱倩澜(1990-)，女，硕士研究生，研究方向为刑侦图像处理。E-mail：244691953@qq.com

中图分类号：TN911.7

文献标识码：A

文章编号：2095-6533(2016)03-0105-06