非自集值映射最佳逼近点的存在性

刘花花，洪世煌，赵春香

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)



非自集值映射最佳逼近点的存在性

刘花花，洪世煌，赵春香

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

摘要：首先对于集值非自映射定义了一类序广义近似弱压缩，然后在该压缩的基础上，获得了一个广义最佳逼近点的存在性定理，最后举例说明了该定理的实用性.由于该映射满足较弱的压缩条件，因此该结果具有更广泛的适用性.

关键词：最佳逼近点；偏序度量空间；集值算子；序广义近似弱压缩

0引言

近年来，许多学者研究了在不同压缩条件下最佳逼近点的存在性，收敛性以及唯一性，而当非自映射满足近似类型的压缩时，其最佳逼近点的存在性更是被广泛关注，特别是在偏序度量空间中最佳逼近点理论已有大量的研究成果[1-3].文献[4]在偏序度量空间中讨论了一类近似压缩映射的最佳逼近点问题，文献[5]减弱了文献[4]中映射所满足的压缩条件，证明了最佳逼近点的存在性.受上述工作的启发，本文借助文献[6]中的有关函数，在偏序度量空间中定义了一种新的近似压缩映射，并推广了文献[5]中的主要结果.

1预备知识

设(X,d,≤)是偏序度量空间，其中≤是偏序，d是度量，A，B是X的两个非空有界子集，首先引入下面的记号：

A0={x∈A:存在y∈B使得d(x,y)=d(A,B)}，

B0={y∈B:存在x∈A使得d(x,y)=d(A,B)}，

d(A,B)=inf{d(x,y)∶x∈A,y∈B}.

定义1[3]一个单值映射g:A→A称为等距映射，如果对任意的x,y∈A，都有d(gx,gy)=d(x,y).

定义2设T:A→2B是一个集值映射，一个元素x∈A称为T的一个广义最佳逼近点，如果d(gx,Tx)=d(A,B).如果g是恒等映射，那么x称为映射T的最佳逼近点.

定义3设(X,d,≤)是一个偏序度量空间，集值映射T:A→2B称为近似单调不减的(近似单调不增的)，如果y1≤y2，d(x1,Ty1)=d(A,B)=d(x2,Ty2)⟹x1≤x2(x1≥x2).

在文献[4，6]中给出了下面的函数族，在此基础上，本文定义了一种新的压缩关系.

Φ是所有函数φ:[0,∞)→[0,∞)的集合，其中φ满足条件：

1)φ是连续不减的；

2)φ(t)=0当且仅当t=0；

3)φ(t+s)≤φ(t)+φ(s)，∀t,s∈[0,∞)；

4)另外，假设φ与ψi(i=1,2)满足下面的条件：对于任意的序列{rn}满足limn→∞rn=0，存在a∈(0,1)与n0∈Ν，使得对∀n≥n0，都有ψi(rn)≥aφ(rn)，其中ψ1∈Ψ1，ψ2∈Ψ2，Ψ1={ψ1∶(0,∞]→(0,∞]∶limt→rψ1(t)>0,r>0;limt→0+ψ1(t)=0}，Ψ2={ψ2∶[0,∞)→[0,∞)∶ψ2是单调不减的，且ψ2(t)=0当且仅当t=0}.

定义4在偏序度量空间(X,d,≤)中，T∶A→2B是一个集值非自映射，T称为一个关于等距映射g的序广义近似弱(ψi,φ)(i=1,2)压缩，如果存在φ∈Φ，ψi∈Ψi(i=1,2)，使得对于x,y,u∈A，d(gu,Tx)=d(A,B)，存在v∈A满足d(gv,Ty)=d(A,B)，使得不等式：φ(d(u,v))≤φ(m(x,y))-ψi(m(x,y))成立，其中m(x,y)=max{d(x,y),d(u,x),d(v,y),(d(x,v)+d(y,u))/2}.

2主要结论

设偏序度量空间(X,d,≤)满足下面的假设：

如果{xn}⊂X是一个单调递增(单调递减)序列，且xn→x(n→∞)，那么任意的n∈N，有xn≤x(xn≥x).

定理(X,d,≤)是完备的偏序度量空间.映射g∶A→A是一个等距满射，满足A0⊂g(A0)，且它的逆是单调不减的.假设映射T∶A→2B是近似单调不减的，满足下面条件：

a)T是一个关于g的序广义近似弱(ψi,φ)(i=1,2)压缩映射，且φ与ψi(i=1,2)满足条件4；

b)Tx⊂B0，∀x∈A0；

c)存在元素x0,x1∈A0，使得d(gx1,Tx0)=d(A,B)，x0≤x1(或x0≥x1).

那么，存在元素x*∈A，使得d(gx*,Tx*)=d(A,B).

证明首先假设T是一个关于g的序广义近似弱(ψ1,φ)压缩映射.如果x0=x1，那么证明完成.否则，由A0⊂g(A0)，以及条件a与条件c可知，存在x2∈A0满足d(gx2,Tx1)=d(A,B)，使得φ(d(x1,x2))≤φ(m(x0,x1))-ψ1(m(x0,x1)).由映射T和g的单调性质，得到x1≤x2(或x1≥x2).继续这个过程，可以构造一个序列{xn}，或者满足xn=xn+1，完成证明；或者存在xn+1∈A0，使得

d(gxn+1,Txn)=d(A,B)，xn≤xn+1(或xn≥xn+1)，

(1)

φ(d(xn+1,xn+2))≤φ(m(xn,xn+1))-ψ1(m(xn,xn+1))，n=0,1,2…

(2)

其中，m(xn,xn+1)=max{d(xn,xn+1),d(xn,xn+1),d(xn+1,xn+2),(d(xn,xn+2)+d(xn+1,xn+1))/2}=

max{d(xn,xn+1),d(xn+1,xn+2),d(xn,xn+2)/2}.

需要注意的是：d(xn,xn+2)/2≤(d(xn,xn+1)+d(xn+1,xn+2))/2.如果d(xn,xn+1)0，由式(2)得φ(d(xn+1,xn+2))≤φ(d(xn+1,xn+2))-ψ1(d(xn+1,xn+2))<φ(d(xn+1,xn+2))，得到矛盾，因此d(xn,xn+1)≥d(xn+1,xn+2)，进而有m(xn,xn+1)=d(xn,xn+1).由式(2)可得：

φ(d(xn+1,xn+2))≤φ(d(xn,xn+1))-ψ1(d(xn+1,xn+2))<φ(d(xn,xn+1)).

(3)

于是，由条件1得{d(xn,xn+1)}是一个单调递减的序列，那么存在一个实数r≥0，使得limn→∞d(xn,xn+1)=r.假设r>0，在式(3)两边取极限，由φ的连续性，有φ(r)≤φ(r)-limn→∞ψ1(d(xn+1,xn+2))<φ(r)，得到矛盾，因此r=0，即limn→∞d(xn,xn+1)=0.

接下来，证明{xn}是Cauchy序列.一方面，limn→∞d(xn,xn+1)=0，由条件4，存在00，可以选取足够小的δ>0，使得(a/(1-a))φ(δ)<φ(ε).进一步，对任意的n1，存在n≥n1，使得d(xn-1,xn)≤δ.对任意的n>max{n0,n1}，由式(3)，得到φ(d(xn,xn+1))≤φ(d(xn-1,xn))-ψ1(d(xn-1,xn))≤(1-a)φ(d(xn-1,xn))，继续这个过程，对任意的k∈N，k>n，有φ(d(xk,xk-1))≤(1-a)k-nφ(d(xn,xn-1))，因此，由条件3，可得下式成立：

φ(d(xk,xn))≤φ(d(xk,xk-1)+d(xk-1,xk-2)+…+d(xn+1,xn))≤φ(d(xk,xk-1))+φ(d(xk-1,xk-2))+…+φ(d(xn+1,xn))≤(1-a)k-nφ(d(xn-1,xn))+(1-a)k-n-1φ(d(xn-1,xn))+…(1-a)φ(d(xn-1,xn))=(((1-a)-(1-a)k-n+1)/a)φ(d(xn-1,xn))<((1-a)/a)φ(d(xn-1,xn))≤φ(δ)<φ(ε).

(4)

式(4)表明d(xk,xn)<ε，由ε的任意性，得{xn}是一个Cauchy序列.由X的完备性，存在x*∈A0使得limn→∞xn=x*.

现在，证明x*满足d(gx*,Tx*)=d(A,B).对任意的n∈N，d(gxn+1,Txn)=d(A,B)，由条件a得，存在un∈A0，使得d(gun,Tx*)=d(A,B)，以及

φ(d(un,xn+1))≤φ(m(x*,xn))-ψ1(m(x*,xn))，

(5)

其中，m(x*,xn)=max{d(x*,xn),d(un,x*),d(xn+1,xn),(d(un,xn)+d(x*,xn+1))/2}.注意由于A0是有界的，则序列{d(un,x*)}存在收敛的子列，为了考虑方便，假设序列{d(un,x*)}本身是收敛的，且limn→∞d(un,x*)=c≥0.假设c>0，由m(x*,xn)的定义，对于足够大的n，有m(x*,xn)=d(un,x*).因此limn→∞m(x*,xn)=c>0.另一方面，d(un,xn+1)≤d(un,x*)+d(x*,xn+1)，d(un,x*)≤d(un,xn+1)+d(x*,xn+1)，在这两个不等式两边取极限，得到limn→∞d(un,xn+1)=c.在式(5)两边令n→∞，有φ(c)≤φ(c)-limn→∞ψ1(m(x*,xn))<φ(c)，得到矛盾.因此c=0，这推出了limn→∞un=x*.由d与g的连续性，在d(gun,Tx*)=d(A,B)两边令n→∞，得到d(gx*,Tx*)=d(A,B).

同理，若T是一个关于g的序广义近似弱(ψ2,φ)压缩映射，则T的最佳逼近点存在.证毕.

T(1,0)={(x,y)∶x=y,x∈[0,1]}∪{(x,y)∶x=-y,x∈[0,1]}，

T(-1,0)={(x,y)∶x=y,x∈[-1,0]}∪{(x,y)∶x=-y,x∈[-1,0]}，那么T存在最佳逼近点.

证明显然，(X,d,≤)是完备的偏序度量空间，d(A,B)=1，A=A0，B=B0.

首先，求证T是关于恒等映射I的序广义近似弱(ψi,φ)压缩.为此，令(x1,y1)=(-1,0)，(x2,y2)=(1,0)，那么(x1,y1)≤(x2,y2).可得d((-1,0),T(x1,y1))=d((1,0),T(x1,y1))=d(A,B)，d((-1,0),T(x2,y2))=d((1,0),T(x2,y2))=d(A,B)，则对任意的(u1,v1)∈A，d((u1,v1),T(x1,y1))=d(A,B)，可以选取(u2,v2)=(u1,v1)，显然(u2,v2)∈A，且d((u2,v2),T(x2,y2))=d(A,B).对任意的φ∈Φ，令ψi=aφ，其中a∈(0,1),i=1,2，有ψi∈Ψi，以及0=φ(d(u,v))≤(1-a)φ(m(x,y))-ψi(m(x,y))；同理，当(x1,y1)=(x2,y2)=(-1,0)或(x1,y1)=(x2,y2)=(1,0)时，可以得到相同的结论，因此T满足条件a.

其次，(X,d,≤)是完备的，T(A0)⊂B0成立，则T满足条件b.由于A0是全序集，那么T具有近似单调性质.令x0=(-1,0)，x1=(0,1)，则，显然T满足条件c.

最后，由定理得，T存在最佳逼近点.实际上，(-1,0)，(1,0)是所求的点.

3结束语

本文主要研究了当非自映射满足序广义近似弱压缩时，最佳逼近点的存在性.通过引入序广义近似弱压缩，减弱了文献[5]中映射所满足的压缩条件，使所得定理具有更加广泛的应用.除了减弱映射的压缩的条件，也可以考虑减弱其他条件来研究最佳逼近点的存在性，如映射的单调性或研究空间.

参考文献

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Best Proximity Points for Non-self Multivalued Mappings in Ordered Metric Spaces

LIU Huahua, HONG Shihuang, ZHAO Chunxiang

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

Abstract：This paper defines a kind of ordered generalized proximal weak contraction for a multivalued non-self mapping firstly, then gets a generalized best proximity point theorem under the contraction. Finally, the main result is supported by an example. Since the multivalued mapping just satisfies weaker contraction, the generalized best proximity point theorem is more universal and practical.

Key words：best proximity point; partially ordered metric space; multivalued mapping; ordered generalized proximal weak contraction

DOI：10.13954/j.cnki.hdu.2016.02.017

收稿日期：2015-09-16

基金项目：国家自然科学基金资助项目(71471051)

作者简介：刘花花(1990-)，女，硕士研究生，博弈论与非线性分析.通信作者：洪世煌教授，E-mail：hongshh@hdu.edu.cn.

中图分类号：O29

文献标识码：A

文章编号：1001-9146(2016)02-0080-04