具有接种疫苗和再次感染的媒介传染病模型的稳定性分析*

白　梦，薛亚奎

(中北大学 理学院，山西 太原 030051)



具有接种疫苗和再次感染的媒介传染病模型的稳定性分析*

白梦，薛亚奎

(中北大学 理学院，山西 太原 030051)

摘要:建立和研究了一类具有接种疫苗和再次感染的媒介传染病模型. 假设易感者接种疫苗后还被感染, 得到了疾病流行与否的阈值, 即基本再生数 R0, 并讨论了平衡点的存在性. 进一步运用Lyapunov函数及Routh-Hurwitz判据证明了无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性.最后根据实际情况选取适当数据, 进行数值模拟, 验证了所得结论的正确性.

关键词:接种疫苗; 再次感染; 媒介传染病; 无病平衡点; 地方病平衡点

0引言

媒介传染病是一种很常见的传染病, 它的肆虐对人类的威胁不容忽视. 媒介宿主传染病指通过某种生物载体传播的传染性疾病, 它是由病毒、 细菌或真菌等病原微生物引起的, 这种生物载体被称为传播媒介.

人类在利用医学科学技术治疗一些传染病的同时, 也开始更多地关注用疫苗对某些传染病进行预防. 从理论上讲,接种过某种疫苗, 身体会产生相应的抗体, 也就是说对某种病有了抵抗力, 再接触该种病原体时, 就不会再患这种病了. 然而，通过预防接种所获得的抵抗力是相对的, 而不是绝对的, 也就是说, 绝大多数人接种了疫苗后, 可能不再患该种传染病, 但还有少数人可能再患该种传染病. Takeuchi, Yasuhiro，Iwami及Shingo讨论了具有接种疫苗的SVIR模型[1], 其中S是易感者, V是接种疫苗者, I是感染者, R是恢复者. 李学志, 周勤学等人研究了具有接种疫苗和再次感染的SEIRV模型, 并讨论了Hopf分支存在的条件[2-3], 其中E是潜伏期者. 还有一些文献对此类模型也有详细的研究[4-7]. 那么在媒介传染病的数学建模和研究中, 也应该考虑接种后仍会被感染媒介所感染的情形.

本文建立了一类具有接种疫苗且接种疫苗后会再次感染的媒介传染病模型, 并对模型的全局动力学形态进行了分析.

1模型

假设疾病流行地区的总人口规模固定不变, 把t时刻的人口总数分为易感者、 接种者、 染病者和恢复者四类, 分别用SH,PH,IH,RH表示.NH表示t时刻的总人口数, 则NH=SH+PH+IH+RH. 对于媒介总数NV(如蚊子等), 可分为易感者、 感染者, 分别用SV,IV表示, 则NV=SV+IV. 由于媒介每天的繁殖量和死亡量巨大, 如不采取控制措施, 则总数变化相对于总量来说几乎可以忽略, 因此可以假设媒介总量为常数. 若不考虑因病死亡, 人口的输入率用C1表示, 各类人群的死亡率都用μH表示.α表示对易感者的接种疫苗率;βH表示染病媒介对易感人群的感染率;σ表示事先接种过疫苗而再次感染该疾病的可能性;γ1表示接种者感染后的康复率;γ表示染病者的康复率;C2表示蚊子的输入率;βV表示染病人群对易感媒介的感染率;μV表示媒介的死亡率.

根据建模思想,可以建立动力学模型

(1)

由于总人口数和媒介总数都是常数, 且SV=1-IV, 只需考虑模型(2)

(2)

2无病平衡点的稳定性

(3)

利用文献[8]的方法来计算R0, 考虑第二代生成矩阵

则定义R0如式(4)

(4)

当基本再生数 R0<1 时, 平均每个染病者可以感染到的人数不足一个, 疾病消亡; 当 R0>1 时, 平均每个感染者可以感染到的人数大于一个, 疾病流行.

证明模型(2)在无病平衡点 E0处的Jacobian矩阵为

(5)

其对应的特征方程为det(λ I-J(E0))=0, 即

令

(6)

由于a1>0, 当 R0<1 时, a2>0. 方程(6)的所有特征根均有负实部. 根据Routh-Hurwitz判据可以得到无病平衡点 E0在可行域内是局部渐近稳定的. 若 R0>1,a2<0, 方程(6)有一正根，故无病平衡点 E0不稳定.

证明

由比较定理可得

又由比较定理得

则

当且仅当 IH=0 时, V′=0. 当 R0≤1时, 有 E={(SH,PH,IH,IV)∈Ω:V′=0}={IH=0}, 故 E 中模型(2)的最大不变子集为 IH=0. 由LaSalle不变性原理[9]可知, 当 R0≤1 时, 无病平衡点 E0在 Ω 中是全局渐近稳定的.

3地方病平衡点的存在性及稳定性

(7)

求解式(7)中第一个方程

求解式(7)中第二个方程

求解式(7)中第四个方程

(8)

其中

可以看出, 恒有A>0, 当R0>1,C<0时, 由式(8)知, 方程有唯一正根.

(9)

定理 4对于模型(2), 当 R0>1时, 地方病平衡点 E*在可行域 Ω 内是局部渐近稳定的.

证明模型(2)在地方病平衡点 E*处的Jacobian矩阵为

(10)

在地方病平衡点 E*处的特征方程为

若令

(11)

其中

根据Hurwitz判据, 特征方程的根均具有负实部, 则该模型的地方病平衡点 E*在可行域 Ω内是局部渐近稳定的.

4数值模拟

计算机模拟是人们在学习过程中应用计算机程序模仿各种实际系统的进行过程, 并通过程序计算了解系统随时间变化的行为或特性[10]. 本节应用Matlab对模型(2)进行数值模拟, 得到的仿真结果充分验证了结论的正确性.

例 1取参数C1=0.53; βH=0.21; βV=0.13; γ=0.45; γ1=0.36; μH=0.31; μV=0.35; α=0.38; σ=0.49. 此时R0=0.082 0<1, 图 1(a) 为SH,PH,IH,IV关于时间 t 的图像.

例 2取参数 C1=0.53; βH=0.31; βV=0.33; γ=0.61; γ1=0.56; μH=0.31; μV=0.27; α=0.47; σ=0.52. 此时R0=0.350 4<1, 图 1(b) 为SH,PH,IH,IV关于时间 t 的图像.

由图 1 可以看出, 当 R0<1 时, 随时间的增长, 模型的无病平衡点在可行域 Ω 内是全局渐近稳定的. 比较图 1(a) 和图 1(b), 可以看出改变一些参数后, 疾病消亡所用的时间变短.

例 3取参数 C1=0.53; βH=0.46; βV=0.63; γ=0.45; γ1=0.36; μH=0.27; μV=0.23; α=0.48; σ=0.39. 此时R0=1.946 5>1, 图 1(c) 为SH,PH,IH,IV关于时间 t 的图像.

例 4取参数 C1=0.53; C2=0.87; βH=0.36; βV=0.51; γ=0.45; γ1=0.36; μH=0.27; μV=0.23; α=0.48; σ=0.39. 此时R0=1.471 6>1, 图 1(d) 为SH,PH,IH,IV关于时间 t 的图像.

由图1可以看出, 当 R0>1 时, 随时间的增长, 模型的地方病平衡点在可行域 Ω 内是局部渐近稳定的. 对比图 1(c), 从图 1(d) 中可以看出疾病到达地方病平衡点所需的时间变短.

对参数α, σ进行敏感度分析, 如图 2 可知，通过控制这些参数可以更好地控制疾病的传染爆发.

图 1　模型(1)和(2)的模拟图Fig.1　Simulated diagram of the model (1) and (2)

图 2　参数敏感度分析图Fig.2　Diagram of parameter sensitivity analysis

5结论

本文建立的模型呈现了一类具有接种疫苗且接种疫苗后有可能再次感染的媒介传染病传播机理.运用Routh-Hurwitz判据和Lyapunov函数理论, 证明了无病平衡点 E0是局部且全局渐近稳定的, 地方病平衡点 E*是局部渐近稳定的. 最后通过数值模拟验证了结论的正确性, 并给出了一些参数变化对模型影响的模拟图, 可以更直观地发现通过控制哪些因素来控制疾病的传播与发展, 制定合理的控制措施.

参考文献:

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[2]王娟, 周学勤, 李学志. 一类具有接种疫苗和再次感染的传染病模型分析[J]. 数学的实践与认识, 2011, 41(4): 224-229.

WangJuan,ZhouXueqin,LiXuezhi.Analysisforanepidemicmodelwithvaccinationandre-infection[J].MathematicsinPracticeandTheory, 2011, 41(4): 224-229. (inChinese)

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MaJiahui,XueYakui.Stabilityandhopfbifurcationabouttheantibioticresistancewithinfectioninnosocomial[J].JournalofNorthUniversityofChina(NaturalScienceEdition)，2015，36(3)： 261-267. (inChinese)

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Global Stability of an Epidemic Model with Vaccination and Re-Infection

BAI Meng, XUE Ya-kui

(School of Science, North University of China, Taiyuan 030051, China)

Abstract:The epidemic model with vaccination and re-infection is formulated and analysed.It is assumed that the susceptible individuals are infected after being vaccinated, the basic reproduction number R0 which determines the outcome of disease is identified and the existence of the equilibrium is discussed.Further application of Lyapunov function and Routh-Hurwitz criterion are used to prove that disease free equilibrium and endemic equilibrium is global stability.Then a series of numerical simulations are presented to illustrate the mathematical findings.

Key words:vaccination; re-infection; epidemic; disease free equilibrium; endemic equilibrium

文章编号:1673-3193(2016)02-0120-06

*收稿日期:2015-06-30

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11301491)； 山西省自然科学基金资助项目(2015011009)

作者简介：白梦(1990-)，女，硕士生，主要从事应用数学研究.

中图分类号:O175

文献标识码:A

doi:10.3969/j.issn.1673-3193.2016.02.005