动态问题多变化，动静结合巧分类

渠英

图形运动问题是综合性比较强的问题，也是中考的热点，因此备受关注. 它需要以变化的、运动的观点来处理问题，在解题中，要通过实验、操作、观察和想象的方法掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题. 下面结合2015年河北省压轴题给出其解题思路，帮助同学们加深理解.

（2015·河北）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1，让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）.

发现：

（1） 当α=0°，即初始位置时，点P_____直线AB上. （填“在”或“不在”）

求当α是多少时，OQ经过点B.

（2） 在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值.

（3） 如图2，当点P恰好落在BC边上时，求α及S阴影.

拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x>0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围.

探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值.

【思路突破】

发现（1）思路突破：

延长AB交直线OP于E，因为OA=1，∠O为60°，可求OE的长度等于2，即点E与点P重合，所以点P在直线AB上；当OQ经过点B时，如图4，由△AOB是等腰直角三角形，可知∠AOB为45°，所以旋转角α为15°.

发现（2）思路突破：

拓展思路突破：

如图3，由∠ANO=∠BNM，则tan∠ANO=tan∠BNM，=，BN=.如图6，因为OC>OD=OQ，所以当OQ转到Q点在BC上时，BM即为x所取最大值.作QF⊥OD，在直角三角形FQO中，由勾股定理得：

探究思路突破：

【解后反思】

1. 关键步骤是哪几步？

拓展的关键步骤是利用三角函数或三角形相似将BN用字母x表示，而求x的取值范围时，只有OQ转到Q点在BC上时，BM最大；另外，探究中的关键步骤是分类讨论，半圆K与BC、AD相切容易想到，由于OQ=OD，半圆K与DC相切容易漏掉，构造直角三角形将∠α放在直角三角形中也是关键.

2. 有什么值得一学？

旋转、三角函数、相似、直线与圆的位置关系、几何中的最值、分类讨论思想是本题涉及的知识，也是各地中考压轴题的常见类型.在复习时，应注意问题的全面性、知识的连贯性及知识的迁移. 遇到直角三角形既可考虑相似又可考虑利用三角函数列方程，遇到运动问题要注意在利用分类讨论解决问题时，做到不重不漏.