有关非线性有理差分方程的全局渐近稳定性证明的讨论

刘纯英

【摘 要】本文主要探讨了非线性有理差分方程的全局渐近稳定性的定性性质，并总结了有理差分方程的全局渐近稳定性证明方法。

【关键词】差分方程；全局渐近稳定性；定性性质

差分方程是与微分方程相平行的数学理论，差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律，就是针对需要解决的目标，引入系统或者过程中的离散变量。根据实际背景的规律、性质、平衡关系等建立离散变量所满足的平衡关系式，从而建立差分方程，然后通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质，如平衡性、稳定性、振动性、周期性等。从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他的分析，得到原问题的解。近几十年来，在生态学、物理、化学、医学等诸多领域的研究中已经提出并运用了大量的时滞微分方程模型来描述研究对象，对这些数学模型的动力学行为的研究具有重要的实际意义和实际前景。

近来，高阶有理型差分方程的定性性质引起了大家的极大兴趣，研究有理型差分方程的全局吸引性或者全局渐近稳定性没有固定的方法，对不同的问题所用的研究方法不同，Lyapunov 泛函方法仍是一种有力的工具，寻找有效的手段研究有理型差分方程的全局吸引性或者全局渐近稳定性还有待于进一步探索。

比如文献[3]，G.Ladas 建立方程：

对四阶及以上阶次的差分方程解的全局渐近稳定性进行研究，这将对差分方程解的定性性质的研究有极大的推动作用。

由于全局渐近稳定性关于平衡解的半环的分布规律的样式繁多，由于在分析半环的过程非常复杂，因此，我们将用子序列分析法来研究一类高阶有理差分方程解的全局渐近稳定性。一些结果被推广。我们将通过建立辅助方程的方法，并且应用不动点的相关知识，研究一些高阶有理差分方程解的全局渐近稳定性。

近年来，随着计算机的广泛应用，出现了的大量的差分方程，这是因为一个离散过程的自然模型或者一个连续过程的离散模拟都可以产生差分方程。后者主要出现在常微分方程与偏微分方程的数值求解中。从数学的角度来说，连续的结果与离散的结果是可以相互通达的。因此，把微分方程的结果离散化就可以得到相应的差分方程的结果。由于微分方程解的定性和稳定性的研究比较成熟，结果也比较多。因此，研究微分方程解的动力学行为的一些理论，方法以及工具可以借用到研究差分方程的动力学行为上。故差分方程解的定性和稳定性理论也比较多。然而，差分方程与相应的微分方程也存在许多差异，甚至是本质上的差异。

例如，在1991年W.G.Kelley和A.C.Peterson发表的论文中，连续的Logistic方程：

的每个解都是单调的，但是，它的离散模拟：

xn+1=axn（1-xn），n>n0

在a=4时，却有一个“混沌解”；S.Mohamad与K.Gopalsamy指出：尽管有许多数值方法去近似连续系统的解。但是，两种系统（连续系统与相应的离散系统）解的渐近行为是经常不一致的。J.S.Yu和Z.C.Wang发现时滞微分方程与其离散类似在振动性方面存在差异，此类差异不胜枚举。差分方程与相应微分方程之间差异，以及差分方程本身的广泛应用表明差分方程值得进一步研究，也表明了其研究的现实意义非常重大。

有理型差分方程也被称为有理递归序列，这种类型的差分方程看起来很简单而且它的性质和一些猜想可以被计算机模拟，常常被人们误认为简单，然而事实上并非如此，递归差分方程是近年来研究的主题。

差分方程也经常用于模拟生物学，电子学，生物学，工程学和经济学等学科中出现的微分方程或时滞微分方程的离散模拟或数值求解。近年来，全局渐近稳定性的定性性质引起了大家的极大兴趣，通过对有理差分方程的全局渐近稳定性的研究，通过分析关于平衡解的半环的分布规律来确定平衡解的稳定性，得到了此类有理差分方程解的全局渐近稳定性的一些充分条件。这些性质在生态学，物理，化学，工程，医学等诸多方面的研究中都有非常重要的应用，因此，它的研究具有重要的实际意义和应用前景。

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[责任编辑：汤静]