数学归纳法在几何教学中的应用

林笃锦

【摘 要】数学归纳法在数学解题中具有重要的应用，尤其是在几何教学中应用尤为广泛。本文通过理论与实例相结合的方式分析了数学归纳法的概念、解题步骤以及其在几何教学中的具体应用。

【关键词】数学归纳法 几何教学 应用

前言

数学归纳法通过对一系列特殊情况的总结得出一般的规律性结论，一般规律性结果的正确与否直接决定于推导过程中特殊情况推倒的正确与否。从本质上说，数学归纳法是将所有的自然数代入一个特定的命题都能得出正确结论的数学方法，因此，数学归纳法的推导过程是与數字紧密相连的，这就决定了归纳法能够应用于数学教学的众多领域。几何教学是数学教学中的一个重要部分，因此，归纳法自然而然也就适合于几何教学中。

1.数学归纳法概念

数学归纳法是数学教学中一种常用的证明方法，数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法从更广泛的范畴说，数学归纳法不仅仅适用于证明自然数范畴，它还可以应用于证明一般的良基结构，如集合论中的树。这种更广泛意义上的数学归纳法称为结构归纳法，它主要应用于数学逻辑和计算机科学范畴。

2.数学归纳法步骤

最常用的数学归纳法的解题步骤主要包括两个：

第一步，验证将第一个自然数代入待证明的命题中能否得出正确的结论，若结论正确，说明待证明的命题在特殊的情况中是正确的。这一步骤的依据是自然数集的“最小数原理”。这一步骤是验证命题是否正确的起点，也被称之为归纳的基础。

第二步，在得出n取任何一个大于其自身的自然数K时命题正确的基础上，证明当n取该数之后的所有自然数，即n=k+1时该命题也是正确的，这一步骤的本质是通过特殊情况的归纳得出一般的推理。第二步是进行归纳推理的核心所在，其核心是“验证当n=k+1时也能得出n=k时的一般规律”。

3.数学归纳法在几何教学中的应用

3.1 应用数学归纳法作计算

例1：假设存在一个凸多面体是n棱锥，这个n棱锥的全部顶点确定的直线数量为，求的表达式。

分析：若直接计算该n凸棱锥顶点数所确定的直线数是非常困难的，对于这种数量不确定的几何题目可以采用数学归纳法，从特殊情况中总结规律并加以推广到任何自然数。

解：当n=3时该凸多边形是三棱锥，三棱锥存在四个顶点，四个点之间可以最多形成六条直线，同时满足。

当n=4时，该凸多面体是四棱锥，四棱锥有5个顶点，五个点之间可以形成10条直线，且同时满足。

以此类推，假设。

假定n=k（k≥3）时满足该式，则n=k+1时，该凸多面体由k棱锥变为（k+1）棱锥，这就意味着该凸多面体的底面由原来的k边形变为（k+1）边形，即增加一个顶点。该凸多面体增加的一个顶点与原来已经存在的（k+1）个顶点分别相连形成（k+1）条直线。这就意味着，（k+1）棱锥与k棱锥相比所形成的直线数增加了（k+1）条直线，即，这意味着当n=k+1时假定的公式仍然成立。

综上所述，假设成立。

3.2 应用数学归纳法作证明

例2：平面上一共有n个圆，其中每两个圆之间相交于两点，而且任何三个圆都没有相交于同一个点。证明：该平面被n个圆划分为n2-n+2部分。

分析；该题若采取直接的证明方法很难解出，因此，应该采用间接的方法如归纳法证明其正确性。该题采用归纳法的重点是弄清楚n=k+1与n=k相比，圆与圆之间的交点增加了多少，平面被分割的部分增加了多少。在该题中，原有的k个圆将新增加的k+1个圆分割成2k条弧线，而每一条弧线将其所在的平面分割成两部分，这就意味着增加一个圆使得平面的分割部分增加2k。

证明：当n=1时，平面中只存在一个圆，该平面被一个圆分割为两部分，将n=1代入到公式n2-n+2得12-1+2=2，命题成立。

当n=2时，平面中有两个圆相交于一点，该两个圆将平面分割为四部分，将n=2带入公式n2-n+2得22-2+2=4，命题成立。

3.3 应用数学归纳法作图

例3：已知平面上存在2n+1个点，求作一个以该2n+1个点为中心且变数为2n+1的多边形。

解：当n=1时，该题简化为平面上存在三个点，求作一个以该三个点为中心的三角形。具体做法是通过每一个已存在的点做一条直线并且和剩余两点的连线平行，三条直线相交就得出一个以该三点为中心的三角形。

假定我们已经得到符合条件的（2n-1）多边形，并且同时假定存在（2n+1）个点A1，A2，…A2n+1是所作的（2n+1）边形各边X1，X2，…X2n+1的中点。先考虑四边形X1X2n-1 XnX2n+1，该四边形各边的中点依次是A1，A2n-1，An，A2n+1。同时假设边X1X2n-1的中点是A，可以证明四边形A2n-1A2nA2n+1是一个平行四边形。由于平行四边形的对边平行，且其中的三个点A2n-1，A2n和A2n+1都是已经存在的，那么根据相互平行的原理很容易求出该平行四边形的第四个顶点。而A1，A2，…，A2n-2分别是假定中已经作出的（2n-1）边形的各边对应的中点。要作出符合题目的（2n+1）边形只需要以已经存在的两点A2n+1和A2n-1为中点的线段X1X2n-1和X2n-1X2n即可得到符合题目要求的多边形。

4.结论

目前，数学归纳法在几何教学中的应用主要有三个方面，分别是数学归纳法计算、数学归纳法证明以及数学归纳法作图。将数学归纳法应用到几何教学中，不仅可以提高学生对几何问题的空间感知，而且还可加深学生对从特殊到一般的命题证明过程，有利于学生思维逻辑能力和推理能力的提高。

参考文献

[1]肖海燕，代钦.数学归纳法在几何教学中的应用[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2011（04）：130-131

[2]陈文霞，邓晓燕.数学归纳法在教学中的应用[J].科教文汇（上旬刊），2011（11）：103-104

[3]卞艳妮.浅谈数学归纳法在中学数学教学中的应用[J].新课程（中旬），2012（11）：114