课例：造桥选址问题

张学川

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）19-0112-02

造桥选址问题在现实生活中有着广泛的应用，在一条河上造桥，利用桥的长度始终保持不变，通过平移桥到河的岸边，再利用两点之间线段最短，从而达到最佳的建造一座桥选址的问题，有了在一条河道上建一座桥的基础，可以得到在两条河道、三条河道、直到在n条河道分别建造两座桥、三座桥、n座桥的方法。利用平移变换进行造桥选址问题，是平移变换的一个重要应用，体现了数学源于生活，同时用运用于生活。从而达到平移知识的迁移在实际生活中的具体应用。

一、背景介绍

本节内容是我校实施的省级科研课题：“初中数学“课题学习”校本化实施与评价的行动研究”研究实施方案的研讨内容之一。本节内容经过了几位教师的执教与研讨，本文展示的是笔者的实践设计与实录。

（一）内容与学情分析

“造桥选址问题”是人教版《数学》八年级上册第十三章“轴对称”的最后一节“ 课题学习”的第二节内容。比“将军饮马”问题较难，本节内容的解决主要是平移知识的综合应用。是对学生动手操作能力的一个考查，本节的难点在于如何把问题转化为“两点之间，线段最短的问题”，在解决的过程中渗透了化归的思想。

（二）目标与目标解析

1.能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题.

2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用；

3.能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想，体会利用作图解决最短路径问题。

达成目标的标志是：能够将实际问题中的“河”的两岸抽象为数学中的“平行线”，把实际问题抽象为线段和最小问题。通过学生独立思考、合作讨论、教师点拨等方式；能利用平移将线段的最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求路径最短；在探索最短路径的过程中，体会平移的“桥梁”作用，感悟化归的转化思想，

（三） 教学思路与理念

本节教学的重点是利用平移变换解决造桥选址问题并利用“两点之间，线段最短”公理进行证明，难点是体会利用平移作图将最短路径问题转化为线段和最小问题。

最短路径问题从本质上说是极值问题，作为初中学生，以前涉及这方面的极值问题很少，特别是遇到具有实际背景的极值问题，更会无从下手。

在河岸的什么位置造桥，使得路径最短，采用通过平移桥、或者河道的办法，如何平移，为什么要这样平移，多少学生存在理解上和操作上的困难。在教学时，教师要适时点拨学生。

二、教学过程

引言：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”、轴对称、平移等的问题，

1.下图中的变换属于平移的有哪些？

师生活动：让学生独立思考回答后，教师作补充。

设计意图：通过问题1让学生对轴对称性质、平移的定义及其性质的应用进行再认识。

（一）将实际问题抽象为数学问题

历史上著名的造桥选址问题：

A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

师生活动：1.如上图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径指的是哪些线段的和？

学生：AM+MN+BN，

教师：这三条线段哪些线段的长度是固定不变的，那么怎样确定什么情况下路径最短呢？

学生：桥的程度MN是固定的不变的。

教师：利用线段公理解决问题：我们遇到了什么困难呢？

思维点拨：在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？

学生：

（1）把A平移到岸边

（2）把B平移到岸边

（3）把桥平移到和A相连

（4）把桥平移到和B相连

（5）平移河道

师生活动：由于河道宽度是固定不变的，造的桥要与河垂直，因此路径AMNB中的MN的长度是固定的。

我们可以将点A沿与河垂直的方向平移MN的距离到A1，那么为了使AMNB最短，只需A1B最短。根据两点之间线段最短，连接A1B，交河岸于点N，在此处造桥MN，所得路径AMNB就是最短路径，如图2。

证明：如图3，如果在不同于MN的位置造桥M1N1。由于M1N1=MN=AA1；又根据“两点之间，线段最短”。可知，AN1+N1B>A1N+NB。

所以，路径AMNB要短于AM1N1B。

设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小的问题”。通过平移搭建台阶，即平移桥或河道的办法，将问题转化为易于解决的问题，渗透了化归的转化思想。

（二）小结

师生一起回顾本节所学主要内容，并请学生回答

（1）本节研究问题的基本过程是什么？

（2）平移在研究问题中起什么作用？

设计意图：引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路、基本方法，体会平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化化归思想的重要价值。

（三）作业

由学生画图并完成四条河、五条河、直到n条河相互平行和相互不平行的桥的建造，并总结出规律。

设计意图：进一步考查学生对本节所学知识的掌握程度以及平移等相关知识的综合运用能力。

教学反思：本节课应着重体现小组合作学习的重要性，通过探究相互交流得到解决最短路径的方法，由于难度较大，中差生学起来显得力不从心。通过本节课的探究，我们不难体会到，造桥选址问题，要使所得到的路径最短，就是要通过平移变换，使除桥长不变外所得到的其它路径经平移后在一条直线上。同时要让学生明白许多问题的解决往往要通过特殊情形下的问题来解决，要运用转化思想，让学生学会探索一般与特殊，复杂与简单之间的关系。如今修建的高速公路，许多的高架桥就是造桥选址在实际生活中的具体运用。