带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的处理方法

艾尼·买买提

“带电粒子在磁场中的运动”是历年高考中的一个重要考点，而“带电粒子在有界磁场中的运动” 则是此考点中的一个难点，此类问题的解题关键是寻找临界点。

一、带电粒子在“圆形磁场区域”中的运动

例1、如图1所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图（略），

质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V0垂直射入磁场中。要使粒子必能从EF射出，则初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？

【解析】粒子从A点进入磁场后受洛伦兹力作匀速圆周运动（图略），要使粒子必能从EF射出，则相应的临界轨迹必为过点A并与EF相切的轨迹如图3（图略）所示，作出A、P点速度的垂线相交于O，即为该临界轨迹的圆心。

临界半径R0由R0+R0cosθ=d，有：R0=；

故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径R≥R0

即：R=≥

有：v0≥。

由图（图略）知粒子不可能从P点下方向射出EF，即只能从P点上方某一区域射出；又由于粒子从点A进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG直线上方射出；由此可见EF中有粒子射出的区域为PG，且由图知：PG=R0sinθ+dcotθ=+dcotθ。

二、带电粒子在“单边磁场区域”中的运动

带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范围型问题，求解时关键寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的大小关系确定范围。

轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转中，也容易发现“临界点”。

例2、如图7（图略）所示，在真空中坐标xoy平面的x>0區域内，有磁感强度B=1.0×10-2T的匀强磁场，方向与xoy平面垂直，在x轴上的p（10，0）点，有一放射源，在xoy平面内向各个方向发射速率v=1.0×104m/s的带正电的粒子，粒子的质量为m=1.6×10-25kg，电量为q=1.6×10-18c，求带电粒子能打到y轴上的范围.

解析：带电粒子在磁场中运动时有Bqv=，则R===0.1m= 10cm

如图8（图略）所示，当带电粒子打到y轴上方的A点与P连线正好为其圆轨迹的直径时，A点既为粒子能打到y轴上方的最高点.因Op=R=10cm，AP=2R=20cm，则OA==10cm.

当带电粒子的圆轨迹正好与y轴下方相切于B点时，B点既为粒子能打到y轴下方的最低点，易得OB=R=10cm.综上，带电粒子能打到y轴上的范围为：-10cm≤y≤10cm.

三、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动

例3、在边长为2a的△ABC内存在垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场，有一带正电q，质量为m的粒子从距A点a的D点垂直AB方向进入磁场，如图9所示，若粒子能从AC间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从AC间什么范围内射出。

解析：如图10（图略）所示，设粒子速率为v1时，其圆轨迹正好与AC边相切于E点.

由图知，在△AO1E中，=R1，=a-R1，由cos30°=得，解得R1=3（2-）a，则AE=.又由Bqv1=得v1=，则要粒子能从AC间离开磁场，其速率应大于V1。

如图11（图略）所示，设粒子速率为v2时，其圆轨迹正好与BC边相切于F点，与AC相交于G点。易知A点即为粒子轨迹的圆心，则R2=AD=AG=a.又由得，则要粒子能从AC间离开磁场，其速率应小于等于v2.综上，要粒子能从AC间离开磁场，粒子速率应满足.粒子从距A点的EG间射出。

点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的大小，其对应的轨迹半径也就确定了。但由于入射速度的方向发生改变，从而改变了该粒子运动轨迹图，导致粒子的出射点位置变化。在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图（对应的临界状态的速度的方向），再利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射范围。

小结：

1、带电粒子进入有界磁场，运动轨迹为一段弧线。

解决这类问题的切入点是：定圆心；求半径；画轨迹；找圆心角。

2、同源粒子垂直进入磁场的运动轨迹。

3、注意圆周运动中的有关对称规律：（1）在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出；（2）粒子进入单边磁场时，入射速度与边界夹角等于出射速度与边界的夹角。