“三看”利用柯西不等式代数及几何形式解题

叶忠

摘 要：柯西不等式是高中数学选修课的重要内容，中学数学教学中，受知识学习顺序及学生对知识的熟练程度的影响，利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题常被割裂开，“侧看”这两种形式，好象有很大区别；“正看”这两种形式在解题中其实质是相同的，甚至解题过程也相似；通过“转身看”两种形式在近年高考题中的运用，发现只学习向量运算 （即几何形式），可以代替柯西不等式代数形式解题.

关键词：柯西不等式；代数形式；几何形式

柯西不等式是著名的经典不等式之一， 它在求函数最值，证明等式与不等式，解方程等方面都重要的应用.

向量与柯西不等式在中学数学中，既作为知识，又作为解题工具，它们的应用有很多不同的地方，但有时用它们解决同一问题时，两者又常有异曲同工之妙，它们的这种交融在柯西不等式向量形式上得到充分体现.由于人们对向量知识非常熟悉，柯西不等式向量形式与柯西不等式常被割裂开.其实，在现在中学数学中，只要向量存在，即使高考不考柯西不等式，还是可以在向量应用中找到柯西不等式的影子，甚至在很多需要利用柯西不等式来解题的时候，可以通过向量方法来代替.

1 “侧看”利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题

柯西不等式和向量在解题教学常以工具的形式被用来解题.从解题工具的层面看解题，很多学生利用柯西不等式向量形式解题，也不会把它和柯西不等式联系起来.这是因为，在中学教材中，向量的学习先于柯西不等式的学习，学生对向量的熟悉程度也远胜于柯西不等式.

例1.已知点P（x0，y0）及直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0），求证：点P到直线l的距离d=.

证法1（利用柯西不等式解题）：

设点P1（x1，y1）是直线l上的任意一点，则Ax1+By1+C=0，PP1=.显然，PP1的最小值就是P到直线l的距离.

由柯西不等式得：

当且仅当B（x1-x0）=A（y1-y0），即PP1⊥l时取等号.根据点到直线距离的定义.

所以，点P到直线l的距离d=.

证法2（利用向量形式解题）：

设平面内直线l的方向向量=（-B，A）.

与之垂直的直线l'的方向向量为=（A，B）.

设点P1（x1，y1）是直线l上的任意一点，

则=（x1-x0，y1-y0），点P到直线l的距离d=

因为两种方法在“数”与“形”中有不同的偏向，所以很容易让我们觉得这是两种没有联系的方法.

利用这两种方法得到点到直线的距离公式，都有其巧妙的一面.向量方法：利用法向量，求出在法向量上的投影长度，进而求出距离；而柯西不等式方法：很巧妙地利用等号的唯一性得到了公式.本题两种解法表面上看有很大的区别，但认真分析，发现他们本质上就是利用·≥A（x1-x0）+B（y1-y0） =Ax0+By0+C，其实就是利用柯西不等式的向量形式：·≤

因此，从这点上说两者其实是统一的.会出现这是两种不同方法的偏差缘于向量的学习在先，且对·≤

的熟悉程度胜过柯西不等式.

2 “正看”利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题

在现行《不等式选讲》教材中，从向量数量积角度对二维柯西不等式进行了解释，并把柯西不等式的向量形式看作是柯西不等式的几何表示形式.利用空间向量的数量积得到三维形式的柯西不等式，进而猜想到一般形式的柯西不等式.柯西不等式代数形式及其向量形式两者是等价的.因此，利用它们来解题，只是思考的出发点有所不同，但方法是一致的.

例2.（福建省泉州市2015届普通中学高中毕业班质量检查21）已知a，b，c∈R+，a+b+c=2，记a2+b2+c2的最小值为m.

（Ⅰ）求实数m；（Ⅱ）略.

方法1：（利用柯西不等式）由柯西不等式，整理得，（a2+b2+c2）[1+（）2+（）2]≥（a+b+c）2，当且仅当==，即a=，b=，c=1时，等号成立，所以m=2.

方法2（利用向量形式）：设=（a，b，c），=（1，，），则

，因此（a2+b2+c2）[1+（）2+（）2]≥（a+b+c）2，整理，得a2+b2+c2≥2，当且仅当==，即a=，b=，c=1时，等号成立，所以m=2.

例3.（2012年湖北高考理科第6题）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（ ）.

A. B. C. D.

方法1：（利用代数形式）：

由柯西不等式知：（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2而10×40=202，当且仅当==时，等号成立，不妨设 ===k，则a=kx，b=ky，c=kz.因此=k，而=k2，从而=.故选C.

方法2（利用向量形式）：

设=（a，b，c），=（x，y，z），因此， ·=ax+by+cz.由

故20=ax+by+cz≤=20当且仅当 ==时，等号成立，下同解法1.

从两例上看，两种方法解题入手不同，但解题过程却是相似的.

例2由已知条件a+b+c=2及目标“求a2+b2+c2的最小值”想到利用柯西不等式；由a+b+c想到构造向量=（a，b，c），=（1，，），得到向量解法.例3从ax+by+cz=20展开联想，根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.从两例可以看出，利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.分析近几年各省市高考卷或各地市质检卷，可以发现，基本上能用柯西不等式的代数形式解题的问题都能用向量形式来完成.

3 “转身看”利用柯西不等式及向量形式解题的教学

比较两种解题方法，从解决问题的角度看，受思维特点和知识熟悉程度影响，不同的人会喜欢不同的处理方式.

从柯西不等式的地位与作用看，由于柯西不等式是经典不等式，向量形式只是其中一种，利用代数形式研究一些相对复杂的问题更让人们所习惯.因此，从这个角度看，不能不介绍柯西不等式代数形式而只介绍向量形式.

从中学数学教学的角度看，利用二者进行解题，基本上是可以互相替代的.学生没有学过柯西不等式的代数形式，只要熟悉向量形式（或者说熟悉·≤

），就可以完成解题.学生对向量数量积概念与运算都比较熟悉，利用柯西不等式向量形式训练学生，让学生学会在解题中灵活运用，从某种角度看，可以代替《不等式选讲》中的柯西不等式的学习.正因为从以往的学习与考试看，高考及各地市质检卷中，《不等式选讲》部分考查柯西不等式的试题，学生既使没学柯西不等式，只要熟练掌握·≤

的运用，一样可以很好地完成解题，所以即便现在全国高考课标卷没考柯西不等式，但运用向量工具解决问题中仍然保留着它的影子.