基于MATLAB图形界面研究李萨如图形及其讨论

刘斯禹 韩雪 郭天超

摘 要：本文对应用MATLAB计算机语言编写李萨如图形演示软件进行了研究，在介绍了李萨如图形形成机理的基础上，编写了用于演示李萨如图形的图形用户界面，实现了直接输入振动参数，直接绘图得功能；并且可以直接对比有无阻尼的李萨如图形的对比。直观地分析出各参量的变化对于结果的影响与理论分析相吻合，并总结了李萨如图形的实际应用。图形用户界面可以有效地应用于教学之中。

关键词：李萨如图形 MATLAB 图形界面 频率比 相位差

中图分类号：O32 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2016）2（c）-0000-00

当两个互相垂直的简谐振动相耦合时，振动将为两个振动的叠加，其结果比一维振动复杂得多。如果这两个互相垂直的简谐振动频率相同，则合成的总振动可形成椭圆曲线，一些极端情况下还可能形成圆或直线；若两个简谐振动频率不同，且频率比为整数比，则合振动可形成封闭曲线，称为李萨如图形。若振动频率比不为整数，则合成的总不能形成稳定的图案。而两个振动的频率比、初相位、相位差这些因素均会影响合振动的轨迹形状。将李萨如图形绘制出来则可以比较直观地看出这些因素如何影响轨迹形状。MATLAB是美国Math Works公司的软件产品，是一个高级的数值分析、处理及计算软件；本文采用MATLAB为工具，并编写图形用户界面以绘制不同参数条件下的李萨如图形，进一步讨论以上提及的多种因素对垂直简谐振动合成的影响以及实际的应用。

1 基于MATLAB的李萨如图形演示

1.1 李萨如图形的形成

李萨如图形中的点是两个振动方向互相垂直的简谐振动的叠加，都可以用以下的公式表示：

由以上公式可以看出，李萨如图形本质上是一个质点同时在X轴和Y轴上振动而形成的，其合成交点的运动轨迹就是李萨如图形。但是，如果这两个相互垂直的振动的频率为任意值，那么它们的合成运动就会比较复杂，而且轨迹是不稳定的。然而，如果两个振动的频率成简单的整数比，这样就能合成一个稳定、封闭的曲线图形，这就是李萨如图形 [1] 。

1.2 李萨如图形演示图形用户界面

本文利用MATLAB语言编写了李萨如图形演示图形用户界面，刚打开界面时的状态如图1所示 。在该图左侧有四个动态文本框，从上到下分别获取阻尼系数，水平方向振动方程的振幅，频率，初相。中间有两个按钮和三个动态文本框，三个动态文本框从上到下分别获取竖直方向振动方程的振幅，频率，初相。按钮的作用分别是绘图和复位，并在图片下方的两个名为“水平方程”，“竖直方程”的静态文本框中显示出两个垂直方向分运动的方程。图片右侧为两个坐标轴，上方的坐标轴绘制无阻尼的李萨如图形，下方的坐标轴绘制考虑阻尼系数的李萨如图形。在该图中，我们可以清晰地看到有无阻尼系数的李萨如图形的对比。点击plot绘图，得到图2。

1.3 有无阻尼的李萨如图形对比

以下，我们将对不同频率比，不同相位差的李萨如图形进行对比研究其性质。绘制出部分图像见表1。从表中的对比可以明显看出有无阻尼的李萨如图形在轨迹上大致走向相同。而不同点在于，广义李萨如曲线随着时间的衰减使其最终归到原点后停止，图像将不是封闭曲线，也不像无阻尼李萨如图形一样具有明显的对称性。

在实际情况中，通常都存在着阻尼现象，因此有必要掌握广义李萨如图形的特征，以了解实际情况中的振动参数。

2 李萨如图形的应用

通过研究李萨如图形的特征性的图像可以得知两个互相垂直的简谐振动的振动参数，因而在测量振动频率等方面具有重要价值[3]。可以通过李萨如图形的走向判断两分振动的频率比，通过频率比可由已知频率测量未知频率，利用这种方法可进行两正弦电压相位差的测量可达到很高的精确度。音叉频率的测量也是利用这个原理，即用信号发生器产生一个分运动，并不断调节其运动频率，直到合成运动是直线、椭圆或者圆，则音叉的频率就和此时的信号发生器产生的频率相同[4]。还可以利用李萨如图形验证普通物理教学中“相互垂直的两个简谐振动的合成运动”[5]。利用李萨如图形来检测力平衡式加速度传感器的动态特性[2]。

3 结语

（1）利用MATLAB作为仿真平台可以制作图形用户界面有效地模拟互相垂直不同频率的两个简谐振动的合成，并绘出李萨如图形。

（2）无阻尼的李萨如图形具有周期性、对称性。

（3）有阻尼振动的广义李萨如图形具有缩减性、非对称性等特点，在研究实际问题时有很大的意义。

（4）物理学是一门实验性很强的学科，其理论是建立在实验的基础之上的[6]。由于实验条件有限，物理学中的许多内容无法在课堂上直接用实验来进行验证，给学生对理论的理解带来了一定的困难。所以对物理实验的仿真十分适用于物理课堂。它形象生动，感染力强。有利于讲清概念，有助于我们理解和记忆。

（5）通过制作了本文中的图形用户界面，可以方便快捷地研究有无阻尼的李萨如图形，直接地对比其差别；图形用户界面也方便应用于课堂教学中。

参考文献

[1] 黄光.基于MATLAB的李萨如图形演示及其应用[J].中国科技信息，2008（2）：85-85.

[2] 石涵.用Matlab研究李萨如图形及其讨论[J].物理与工程，2009，19（1）：64-67.

[3] 易其顺，蒋志年，闭剑锋.利用李萨如图形测量音叉的频率[J].大学物理实验，2005，18（4）：36-37.

[4] 谷晓琪，周修文，霍虎，等.基于MATLAB的简谐振动合成图形的动态演示[J]. 电子测试， 2013（6）：40-43.

[5] 白生华，张克复.两个相互垂直不同频率简谐振动合成的探讨——用微机研究李萨如图的尝试[J].大学物理，1988（8）.

[6] 赵亚军，丁振瑞，丁文革，等.自制热机能量转化演示仪[J].物理，2010（3）：60-62.