例谈计算教学中不同表征方式的运用

王少平

小学生以直观形象思维为主，抽象逻辑思维能力不强，这就决定了他们接受数学知识的过程是以线性的方式进行的，从而使其思维表征也以鲜明的线性方式经历动作表征、图像表征，最后到符号表征。如何顺应小学生的这一思维特点，促进计算教学过程中各环节之间的逻辑联系？本文以“两位数乘一位数”为例，探究线性思维方式下计算教学的各个环节中多种表征方式的灵活运用，以促进小学生对算理的理解与计算方法的掌握。

一、借助动作表征加强对算理的直观感知

教学“两位数乘一位数”时，教师安排学生用摆小棒的方法得出“48×2”的结果，学生的摆法如下：

这种摆法是正确的，但还不能让人一眼就看出结果。怎样才能让人一眼就看出结果呢？于是学生继续操作小棒，便有了下面的操作（见图2）：

学生们理由是：“……右边的8根加8根等于16根，16里面有1个十和6个一，把1个十捆起来得到一捆，放到左边8捆的下面，就是9捆，即90，加上右边的6根，就是96根。”

两位数乘一位数，计算时先把一位数与两位数个位上的数相乘，满十要向前一位进位，算法相对于算理是抽象的，小学三年级的学生抽象概括能力较弱，当他们借助具体的小棒来进行实际操作时，这种抽象的算法就在摆小棒中直观地呈现出来。在摆小棒的过程中，抽象的算法被具体可触摸的小棒所代替，但又不失小棒的可操作性，有力地帮助学生在知识形成的感知阶段加强了直观感性认识，建立起正确明晰的算法表象。

二、 借助图像表征形成内在思维影像

操作完小棒之后，教师给学生布置任务：“不看小棒图，在头脑中回想一下，刚才是怎样得出‘48×2的结果的？”

学生闭上眼睛开始在脑中回想摆小棒的过程，并按照教师的要求把自己回想出来的内容说给同桌同学听。

这一回想的过程，学生摆脱了具体可感的小棒实物，仅依托操作过程中形成的动作表征在自己的头脑中通过回想形成“实物影像”。这一过程实际上就是摆脱具体实物，原有的模型（小棒图）消失，自己制作原来实物的心像。因为回想的过程是把原来的操作过程以心像的形式在头脑中呈现，所以说在这一过程中活跃的是学生的内在思维。通过“想一想”使操作环节中大量的过程性信息得以整体地表征出来，从而为将要进行的学习活动有一个整体的把握。同时，使学生个体可以在头脑中建立起牢固的“两位数应分别与整数相乘，再把乘得的积相加”这一计算影像。如果说，操作中形成的动作表征是帮助学生在知觉上获得了大量信息，那么图像表征则通过回想建立“两位数乘一位数”方法的心像，二者的结合为学生进行抽象层面上的创新思维提供了可能。这就意味着通过回想建立起的图像表征成为由动作表征过渡到符号表征的中介。

三、 借助符号表征抽象概括算法

学生在头脑中回想并相互交流之后，教师让学生结合摆小棒和在头脑中回想的过程，用竖式把计算过程记录下来。学生结合已有的“不进位的两位数乘一位数”经验，独立思考写出竖式，呈现如图3：

这两个竖式的书写过程既再现了动作表征的全过程，又使图像表征得以外显，是学生内在思维的真实展现。同时，这两道竖式沟通了动作表征和图像表征之间的联系，既体现了“48×2”就是2个40与2个8的和这一直观算理，同时又体现了用4和8分别与2 相乘再把积相加的算法。无论是从操作的角度还是从思维的角度，这种以数字符号表征的方式是最好的记载方式。因为它既可以再现外在操作的过程，也可以再现内在的思维过程。同时，其简洁的记录形式决定了它是一种具有普遍性的表征方式，易于在学生头脑中储存。

为了解决本节课的教学难点——“进位”问题，随后教师让学生比较上面两道竖式在计算中的相同之处，同时联系动手操作时是如何将16根小棒变成一个十和6个一的，有效地引导学生理解“进位”的必要性，从而将竖式简化（图4）。

这时，学生的思维不再依赖于模型和影像，而是以符号作为思维活动的材料，形成了以符号为表征的具有普遍性的算法，这也标志着学生的思维已经向抽象概括迈出了一大步。

算理的直观性和算法的抽象性之间存在一定矛盾，小学低年级学生的线性思维特点容易造成学习中各个环节的不连贯、出现知识点之间缺少逻辑联系的弱点。像上面的案例那样，在教学中循序渐进，灵活借助各种数学表征方式，在教学的各个环节对不同的表征方式灵活转化，则可以不断促进学生抽象思维能力的提升。当然，学习的不同环节运用何种表征方式并不是固定的，应根据不同的教学目标选择合适的表征方式，灵活运用，以促进学生对知识的理解与内化。