洛朗级数求积分问题在工程数学中的应用

王斌　李璇　冯明勇

【摘要】本文结合工程数学课程中利用洛朗级数求积分问题的实例，对学生在工程数学课程学习中容易混淆的求积分方法进行了分析、比较与归纳总结，并且对于本课程中洛朗级数与其他章节之间的联系作了详细阐述，以供参考和借鉴.

【关键词】洛朗级数；高阶导数公式；留数

1.工程数学中的洛朗级数

学习工程数学这门课程的最终目的是使学生能够结合所学的理论，以实际情况为背景，对客观现象进行深入分析，找出其存在的问题，并策划出解决问题的方案.因此，教师在教学过程中应适当地将教材中的内容进行扩展，介绍一些工程数学理论在其他领域的应用实例，可以使学生在体会到该课程知识理论应用的同时，也提高了自身的实际应用能力.工程数学课程是各个高校工科专业的学生在具有了高等数学的基础上，为了能够用更加方便的理论工具来处理工程中常见的问题而开设的一门课程.

2.工程数学中的洛朗级数教学

不同高校所开设的工程数学课程的内容与课时根据其实际情况都有所不同，关于工程数学课程的教学内容或者方法的改革与探讨较多，既有对于教学方法、教学策略的探讨，也有关于具体数学工具及应用类的分析.笔者在长期的教学过程中发现很多同学由于受本课程的课时限制以及学习方法不当，对于本课程中计算复变函数沿着闭曲线积分问题的理解不够深刻，各个章节之间的联系认识不足，所以促使笔者产生了抛砖引玉的想法，对于如何利用洛朗级数求积分问题，本文进行了仔细梳理和分析.在工程数学课程的复变函数部分仔细介绍了利用洛朗级数展开式来计算沿闭曲线复变函数积分，随后又介绍了利用留数方法（即洛朗级数展开式中负一次项系数C-1）来计算沿闭曲线复变函数记分，很多同学由于这两部分内容前后相邻并且都是需要计算C-1而混淆其不同之处.本文借助课后习题中的一个典型习题的多种解法，揭示上述两种解法的不同点以及常见的四种解法的优劣之处，以供参考和借鉴.

虽然工程数学的内容抽象，概念定理多，计算较繁琐，但这些都是实际生活中一些问题的抽象，它来源于生活又应用于生活.如果在教学过程中能够准确把握住课程内容与学生生活实际及所学专业的结合点，从知识的背景及生活、专业的实际问题出发设计出一些应用实例进行讲解，可以使工程数学知识不再是抽象的理论，而是解决专业问题的有利数学工具，打破传统的“算数学”模式，代之以用数学工具解决各种问题的“用数学”模式，增强学生对工程数学是一门工具学科的感性认识.主动向学生阐明学习该知识的目的及应用，使其能够利用所学知识去思考问题、解决问题，从而产生学习的内在动力.数学学习的最终目的是运用，加强应用能力的培养不仅是数学本身发展的需要，也是提高学生数学素质的重要途径.在工程数学教学中恰当地运用应用实例正是加强学生应用能力培养的手段，具有可行性.

3.工程数学中的典型例题求解

解法1 利用洛朗级数展开式，首先构造解析同心圆环形区域：1<|z|<+∞（C 包含于上述圆环形区域内部，且有相同圆心），虽然满足洛朗级数展开条件的圆环形区域是不唯一的，包括圆心及半径都可以不同，但是为了计算方便，我们经常选取同心圆环.被积函数在上述圆环内的洛朗级数展开式可依据下式计算得出：

综合比较上述四种解法，各有其优缺点.由于洛朗级数展开的方法变化较多，某些函数甚至无法用常用方法展开，所以解法1有一定局限性.表面上看起来解法2最简洁，但实际上能够利用柯西公式和高阶导数解决的积分只占很少的一部分，因为满足柯西公式和高阶导数的被积函数类型是有非常强的限制条件的.

4.结 论

因此，同学们在求解沿闭曲线复变函数的积分时应该仔细分析被积函数和积分曲线的特征，根据具体题目灵活选择合适的求解方法.就笔者看来，在工程数学课程中计算沿着闭曲线的复变函数积分时大家也应该很好的掌握与留数有关的解法，因为留数的计算不仅在复变函数部分很重要，而且在工程数学课程的最后与工程技术应用紧密相关的Laplace变换部分，很多Laplace逆变换的计算也是通过留数计算得出的.总而言之，洛朗级数展开方法并不仅仅是工程数学课程中一个相对独立的部分，对于洛朗级数展开的详细分析不但有助于我们分析理解复变函数奇点的分类，还有助于我们计算不同类型奇点的留数，进而可用来求Laplace逆变换等.相信通过本文对于上述两种解法优缺点的详细分析与比较，一定能够帮助读者们进一步理解工程数学中洛朗级数展开方法在求解沿闭曲线积分计算中所起到的重要作用.