例说数学解题的思维过程

林瑞云

【摘 要】数学解题的重点在于培养学生的思维，运用数学思维方式去思考问题。文章通过具体例子谈谈数学解题的思维过程。

【关键词】数学表象 数学直感 数学想象 逻辑证明 解题过程

数学常常被称为“思维训练的体操”，数学的这种思维价值可以通过有序的数学教学过程发挥出来，数学教学的目的应该在于培养学生的思维能力、解题能力和运用数学能力，从而运用数学思维方式去思考问题、分析问题、解决问题。在数学教学中揭露思维过程引起了人们的广泛关注，揭露概念的形成过程，揭露命题的发现过程，揭露证明的探索过程，以及揭露这些过程中出现的错误等。本文从解题分析的角度举一个简单的例子，展示解题的思维过程。先给出题目：

已知平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，求证：EB=DF。

一、呈现数学表象

通过认真阅读题目所提供的信息，首先在意识里呈现出一个几何图形，伴随着这个几何图形的是一个代数问题：由位置与数量关系去确定另一个数量关系。如图1。

在问题的引导下，思路开始运转，脑子里出现一个平行四边形的基本图形，以及与此图形有关的性质，如：平行四边形对边平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分，等等。所以由四边形EBFD为平行四边形→EB=DF。

由这个命题的基本图形，在我们脑海里逐渐浮现出来：由条件E、F分别是AD、BC中点所想起的问题有：（1）E、F分别是AD、BC的中点能得到什么？（2）由平行四边形ABCD能推导出什么结论？

一开始，“由平行四边形ABCD这个条件能推导出什么结论”是一个开放性问题，我们似乎无从入手，不知道该往哪个方向去思考，但从要求证明的结论来看，随着对结论的思考，思路慢慢清晰起来。

根据结论EB=DF，题目是否提供了相应的条件？如果没有直接提供，那么是否间接提供了？等等。由此想起相关知识，从而联想起更多的储存知识：（1）平行四边形对边相等；（2）四边形EBFD是平行四边形吗？（3）由已知条件能推导出“四边形EBFD为平行四边形”吗？这是表象的一个有序深化的过程。

二、产生数学直感

上述三个方面的思考，促使我们更注意图形，图中有△ABE，△DCF，平行四边形ABCD。哪些信息对于我们解题有用？哪些是多余的呢？当然，一开始我们并不知道，但是结论证明两线段相等促使我们去考虑边的关系。因为两线段相等可从平行四边形的性质得出，也可从两个三角形全等或等腰三角形等角对等边去判定，而已知给出了平行四边形这个条件，所以我们的思路就集中到：从图形中找边所在的三角形或边所在的平行四边形。

这时，随着问题的需要，图1被分解出一系列的部分图形，并呈现在我们眼前：

（1）图（2）中△ABE与△CDF会全等吗？四边形EBFD是平行四边形吗？

（2）若△ABE≌△CDF，则需哪些条件？题目给出条件了吗？由此我们又想到三角形全等的判定方法。

（3）若四边形EBFD为平行四边形，则需哪些条件？由此我们又想到了平行四边形的五种判定方法，由题目给的条件，用哪种方法来判定四边形EBFD为平行四边形？

三、展开数学想象

对具体的感知和判别，使我们又看到AE=FC，AB=CD，∠A=∠C，从而可以判定△ABE≌△CDF。

由平行四边形ABCD可得AD∥BC，AD=BC，由E、F为AD、BC中点，可导出ED∥BF，ED=BF，故四边形EBFD为平行四边形，从而产生新表象BE=DF。于是在数量关系AE=ED，BF=FC与BE=DF之间，在缺少联系的画面上，添上了几个数量或位置关系：AD∥BC，AD=BC，ED=AD，BF=BC，ED∥BF，ED=BF。如图3，则四边形EBFD为平行四边形。它们形成自然的逻辑关系，从而得出证明。

四、给出逻辑证明

证明1：

四边形EBFD为平行四边形EB=DF

证明2：

在ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C

∵E、F分别为AD、BC中点

∴AE=AD，FC=BC

∴AE=FC

在△ABE与△CDF中

AE=FC

∠A=∠C

AB=CD

∴△ABE≌△CDF中

∴EB=DF

这些证明是抽象思维的过程，表达得清楚，简捷而严谨。而取得这些结果却经历了“表象—直感—想象”的形象思维过程，在得出EB=DF之前，平行四边形是一个结论发散的开放题。为了与简捷的逻辑证明相对照，我们将思考过程（证明）图示如下：

五、反思解题过程

上述的思维过程，把“题”作为考察对象，把“解”作为研究目标，我们注重“解题思路分析”，并不是停留在解题研究这一阶段上，而是把上述思维活动（包括问题和解题）作为研究对象，探究解题规律，学会如何思考，如何探究，分解每个解题过程具体的探究方法。

当然，证明过程也是一个思维过程，也需要我们去展示思维过程，并且这种展示比前一阶段的揭露有更高的层次，需要更强的主动性，是培养思维批判性与深刻性较好的方法。下面对证明的书写作出具体结构的分析。

（一）首先，将证明1分成三步

第一步，从平行四边形ABCD中可以得出AD∥BC，AD=BC，这是由已知条件推出AD与BC位置与数量关系的过程；

第二步，把另一条件用上，即E、F为AD、BC中点，得出ED=AD，BF=BC，与AD∥BC，AD=BC结合起来，得出ED∥BF，ED=BF，这是由数量与位置关系推出新的数量与位置关系的过程；

第三步，由上述关系得出四边形EBFD为平行四边形，从而推出EB与DF的等量关系。

（二）其次，根据上面的思路分析，将证明1的过程加以充补

（三）解题中给出哪些条件，用到了哪些知识（或方法），先用哪些条件，后用哪些条件，哪些条件相关联。只需将其再作补充，便可更直观地看到，解题过程是这样一个有用捕捉、有关提取、有效组合的“三位一体”的工作。通过分析解题思维过程，这个题目在解决过程中的知识结构与逻辑关系，进一步归纳出“什么叫解题”：从理解题意中捕捉有用的信息，从记忆储存中提取有关的信息，并将这两组信息组成一个和谐的自然的逻辑关系。

以上例题所示，经历了“表象—直感—想象—论证—反思”的思维过程，前半部分主要是形象思维，后半部分主要是逻辑思维，在叙述中注重解题思维活动的再认识。

【参考文献】

[1]罗增儒，钟湘湖.直觉探索方法[M].郑州：大象出版社，1999.

[2]朱和平.例说解数学题教学中的发散思维与收敛思维[J].数学教学通讯，2003（04）：38-40.