一个新的干摩擦结合部法向接触阻尼方程

田红亮，严峥嵘，郑金华，张　屹

(1．三峡大学机械与动力学院，443002湖北宜昌; 2．三峡大学电气与新能源学院，443002湖北宜昌)

将式(2)代入式(40)得

式(42)不同于文献［21］中的式(32) :

将式(22)代入式(42)得

式(43)不同于文献［21］中的式(33) :



一个新的干摩擦结合部法向接触阻尼方程

田红亮1，严峥嵘2，郑金华1，张屹1

(1．三峡大学机械与动力学院，443002湖北宜昌; 2．三峡大学电气与新能源学院，443002湖北宜昌)

摘要:依照矫正分形几何学理论与Hertz法向接触力学方程，建立新柔性结合部法向接触阻尼方程．考虑变化凸起顶端曲率半径与连续载荷，推出一种求导函数但非偏导函数获取办法，构建2个凸起之间互相作用的法向接触刚度方程．研究结果表明:法向接触阻尼随着表面粗糙轮廓分形维数的增大而先下降后增加;当表面粗糙轮廓分形维数小于第一拐点时，法向接触阻尼随着分形粗糙度的增大而增大;当表面粗糙轮廓分形维数大于第一拐点时，法向接触阻尼随着分形粗糙度的增大而减小;法向接触阻尼随着法向接触载荷的增大而先减小后增大．仿真曲线图中的2个拐点和1个极小值点为干摩擦结合部接触参数的优化设计提供了依据．

关键词:干摩擦结合部;法向接触阻尼;分形几何学理论;法向接触载荷;拐点

工程粗糙表面特别是切削表面，是挤压和撕裂、弹性变形和塑性变形、热和力等因素综合作用的结果，其微观形貌通常是极不规则与粗糙不平的．柔性结合部是由2个切削加工的粗糙表面接触形成的，柔性结合部接触问题的实质是粗糙表面间的接触问题．在微观上，粗糙表面实际存在着多个凸起，而对于其中的每个凸起，均可以将其近似等效为一个半球体．柔性结合部在机械结构中大量存在，当受到动载荷作用时，柔性结合部会产生微小的相对线位移或角位移，使柔性结合部既存储能量又消耗能量，表现出既有弹性又有阻尼，即存在接触刚度和接触阻尼，严重影响机械结构的静、动态特性［1－20］．接触刚度和接触阻尼构成宏观、微观接触中的弹簧－阻尼模型．机械零件结合部可视为两粗糙表面相互接触而成，通常采用法向接触刚度和接触阻尼等参数来表征结合部的法向特性．当结合部之间受到法向载荷作用时，在粗糙表面的凸起产生变形，一部分凸起的接触面积超过临界接触面积而处于弹性变形状态，储存了弹性应变能，表现为法向刚度作用;另一部分凸起的接触面积未超过临界接触面积而产生塑性变形状态，耗散了系统的能量，从而展现为法向阻尼作用．结合部有可能表现出既有弹性又有阻尼，既储存能量又消耗能量的“柔性结合”的本质及特性．

对于机床、齿轮箱与动力机械，其总阻尼的90%以上来源于柔性结合部的接触阻尼．与机械零件本身的阻尼相比，柔性结合部接触阻尼占绝对优势，对机械和机械结构的静动态特性具有重要影响．田红亮等［21］利用Hertz法向接触力学方程和修订分形几何学理论评估柔性结合部的法向接触刚度、法向接触阻尼，但存在着如下的3个缺憾: 1)未给出凸起顶端曲率半径与变形量之间的内在联系; 2)推导法向接触阻尼方程时，仍然假设凸起顶端的曲率半径为常数; 3)作用在凸起上的法向接触载荷在临界接触点面积处出现跳跃间断点．

本文以本项目组所做的部分工作［1－21］为基础，考虑凸起顶端的曲率半径为变量与凸起承受法向接触载荷的连续性，深度架构一种新颖的柔性结合部法向接触阻尼方程．

1　修正分形几何学理论

1. 1凸起分担的法向弹性接触载荷

对机械加工表面形貌进一步研究发现，粗糙表面具有处处不平滑、不可微分的特性，并且随着测量分辨率的不断提高，会不断出现具有统计自相似的、更为精细的结构．在所有实数的定义域内，全体点连续、到处不可求导并具有统计学自相似性的Weierstrass-Mandelbrot分形函数［22］为

式中: x为轮廓位移坐标，G为分形粗糙度，D为表面粗糙轮廓分形维数，n为频率因子，n1为最低频率的初始项，γ为缩放参数．

据式(1)可得凸起顶端的变形量为

式中a为凸起接触点面积，且

通过式(2)、(3)可得Hertz凸起顶端的曲率半径为

凸起承担垂直于柔性结合部的法向弹性接触载荷为

将式(4)和(2)代入式(5)得

1. 2凸起担负的法向完全塑性接触载荷

凸起的弹塑性接触面积［20］见式(7) :

式中:δc为凸起发生弹－塑性变形转化的临界变形量．

若δc≪δ时，凸起进入完全塑性变形，其完全塑性接触面积为

由式(4)得

将式(9)代入式(8)得式(10) :

凸起负担垂直于柔性结合部的法向完全塑性接触载荷为

式(11)不同于文献［21］中的式(13) : Pp(a)=Ha．

1. 3干摩擦结合部担当的法向接触总载荷

凸起发生弹－塑性变形转化的临界变形量［1］为

式中: b为待定常数，E为复合弹性模量，H为较软材料的硬度．

将式(4)代入式(12)得

式(2)除以式(13)得式(14) :

式中ac为临界接触点面积，并且

临界接触点面积ac在式(6)中相应的凸起法向弹性接触载荷为

临界接触点面积ac在式(11)中对应的凸起法向完全塑性接触载荷为

如果作用在凸起上的法向接触载荷在临界接触点面积ac处保持连续，能令Pe(ac)=Pp(ac)，则式(17)变为

将式(15)代入式(18)得

将式(19)代入式(12)得

式(21)不同于文献［21］中的式(8) :

式(20)不同于文献［21］中的式(5) :

将式(19)代入式(15)得

式中aL为最大接触点面积．

据式(22)可得柔性结合部的实际接触总面积为

凸起接触点面积a的分布密度函数为

令aL＞ac，柔性结合部的法向接触总载荷为

式(24)不同于文献［21］中的式(14)．

将式(22)代入式(24)得

式中: Arc=D/(2－D) ac为实际临界接触面积．式(25)不同于文献［21］中的式(15)．

根据式(23)得

将式(26)代入式(25)得

式(27)不同于文献［21］中的式(17)．

由式(27)可得归一化法向接触总载荷为

2　干摩擦结合部的法向接触刚度

将式(9)代入式(4)得

由式(29)可得凸起顶端曲率半径和其变形量之间的内在关系为

将式(30)代入式(5)得

式(31)比文献［2］中的式(64) : Pe(δ)=4/

法向弹性接触载荷对凸起顶端变形量的1阶导函数，即为2个凸起之间互相影响的法向接触刚度

式(32)比文献［2］中的式(65) : dPe(δ) /dδ=4(3－

将式(2)代入式(32)得

式(33)比文献［2］中的式(66) : kn(a')=4(3－因为a'=2a［1］，故上述两式相等．本文的推导过程虽然与本课题组已发表的其他论文［2］不同，所得的中间公式也不一样，看似自相矛盾，但是获得的终极目标公式(33)是一致的．表明本研究提出的“完全塑性变形”中心思想及公式是合理的．

根据式(33)可得柔性结合部的法向接触总刚度为

将式(22)代入式(34)得

将式(26)代入式(35)得

按照式(36)可得归一化法向接触总刚度为

3　干摩擦结合部的法向接触阻尼

将式(9)代入式(11)得

式(38)不同于文献［21］中的式(28) :

将式(30)代入式(38)得

由式(39)可得凸起压缩时的塑性损耗能

将式(2)代入式(40)得

式(41)不同于文献［21］中的式(31) :

使用式(41)可得柔性结合部的塑性总损耗能为

式(42)不同于文献［21］中的式(32) :

将式(22)代入式(42)得

式(43)不同于文献［21］中的式(33) :

由式(31)可得凸起压缩时的弹性势能为

将式(2)代入式(44)得

式(45)不同于文献［21］中的式(36) :

依据式(45)可得柔性结合部的弹性总势能为

式(46)不同于文献［21］中的式(37) :

将式(22)代入式(46)得

式(47)不同于文献［21］中的式(38)．

式(43)除以式(47)可得柔性结合部的结构阻尼损耗因子为

式(48)不同于文献［21］中的式(39)．

将式(26)代入式(48)得

式(49)不同于文献［21］中的式(40)．式(49)可变形为

式(50)不同于文献［21］中的式(41)．

设粗糙表面专属基体虚拟材料［18］的质量为m，则柔性结合部的法向接触阻尼为

由式(37)得

将式(52)代入式(51)得

由式(53)可得归一化法向接触阻尼为

将式(50)和(37)代入式(54)得

式(55)不同于文献［21］中的式(46)．

4　机械干摩擦结合部阻尼模拟

灰铸铁是指石墨呈片状分布的灰口铸铁．灰铸铁组成(质量分数)为2.5%～4.0%C，1.0%～3.0%Si，0. 25%～1. 0% Mn，0. 05%～0. 50% P，0. 02%～0. 20%S．灰铸铁主要用于制造承受压力和振动的零部件，如机床床身、各种箱体、壳体、泵体、缸体等．两配对灰铸铁HT250(单铸试棒的最小抗拉强度是250 MPa)干摩擦结合部的参数为［23］: 918HBW1/ 30/20，表示用直径1 mm的硬质合金球在294. 21 N试验力下保持20 s测定的布氏硬度值为918，较软材料的布氏硬度H=9. 8×918 MPa=8 996. 4 MPa≈9 GPa，弹性模量E1=E2=197 GPa，泊松比ν1=ν2=0. 49，则复合弹性模量［24－44］E=129. 6≈130 GPa，表面粗糙轮廓分形维数D∈［1. 12，1. 99］，名义接触面积Aa=10－6m2，分形粗糙度G取10－10～10－17m，则G*［45－48］取10－7～10－14．

图1～7为法向接触阻尼的演化状况．从图1～3、6、7中可看出，法向接触阻尼随着表面粗糙轮廓分形维数的增加而先变小后增加，最小值点为D=1. 26(图1)，与图2中的左上角曲线最小值点(1. 26，0. 000 133 8)一致．由图1可知，法向接触阻尼－表面粗糙轮廓分形维数曲线具有2个拐点，第1拐点为D1=1. 58，第2拐点为D2=1. 92．分形粗糙度对法向接触阻尼的影响与第1拐点D1的大小有关．拐点是曲线凹凸性的分界点，在图2中，最低点处的数值变化较快，为了能够清楚地表达各量之间的关系，在最低点处对点的数量进行加密．从图2～4中可看出，当D≤D1时，法向接触阻尼随着分形粗糙度的变大而变大．图3中，当D=1. 12时，G*=1× 10－10时所对应的的值为7. 993×10－6，与图2中推算出来的坐标值(1. 12，7. 993×10－6)相同．从图2、3、5中可看出，当D＞D1时，分形粗糙度越大，法向接触阻尼反而越小．法向接触载荷对法向接触阻尼的影响与表面粗糙轮廓分形维数的大小有关．从图4、6中可看出，当D≤1. 4时，法向接触阻尼随着法向接触载荷的增加呈稍许减小的态势．从图5～7中可看出，当D＞1. 4时，法向接触阻尼随着法向接触载荷的增大而增加，文献［21］未推测出此种演变情况．

图1　=0. 1，G*=10－7时阻尼与分形维数的关系

图2　不同G*，且=0. 1时阻尼与分形维数的关系

图3　=0. 1时阻尼与分形粗糙度的关系

图4　D=1. 4时阻尼与法向接触载荷的关系

图5　D=1. 6时阻尼与法向接触载荷的关系

图6　G*=10－7，D较小时阻尼与法向接触载荷的关系

图7　G*=10－7，D较大时阻尼与法向接触载荷的关系

5　结　论

1)针对变化凸起［49－50］顶端曲率半径和连续法向载荷，建立新的粗糙表面法向接触刚度与法向接触阻尼模型．

2)法向接触阻尼随着表面粗糙轮廓分形维数的增加而先减小后增大．

3)表面粗糙轮廓分形维数小于第一拐点时，法向接触阻尼随着分形粗糙度的加大而加大;表面粗糙轮廓分形维数大于第一拐点时，法向接触阻尼随着分形粗糙度的增大而减小．

4)法向接触阻尼随着法向接触载荷的增大而先减小后增加．

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(编辑杨波)

A novel expression of normal contact damping for dry tribology joint interface

TIAN Hongliang1，YAN Zhengrong2，ZHANG Yi1
(1．College of Mechanical and Power Engineering，China Three Gorges University，443002 Yichang，Hubei，China; 2．College of Electrical Engineering and Renewable Energy，China Three Gorges University，443002 Yichang，Hubei，China)

Abstract:A new formula of normal contact damping for flexible joint interface was given by the revision fractal geometry theory and Hertz normal contact mechanics equation．Considering the changeable curvature radius at the tip of the summit and continuous load，the attaining way of differentiable function not partial differential function was induced to get two summits’interacting normal contact stiffness formula．The numeral curves imply that the normal contact damping decreases firstly and afterwards increases with the augment of fractal dimension of the surface raspy profile．When the fractal dimension of the coarse surface profile is smaller than the first inflection point，the normal contact damping enhances with the increase of fractal roughness．If the fractal dimension is larger than the first inflexion point，the normal contact damping reduces with the increase of fractal roughness．As the normal contact load improves，the normal contact damping firstly diminishes whereafter gains．Two inflection points and one extreme small point in the simulation curves might provide the reference for the optimization design of these contact parameters in dry tribological joint interface．

Keywords:dry frictional joint interface; normal contact damping; fractal geometry theory; normal contact load; inflexional point

通信作者:田红亮，thl19732003@ aliyun．com．

作者简介:田红亮(1973—)，男，博士，副教授，三峡学者．

基金项目:国家自然科学基金面上基金(51275273) ;三峡大学博士科研启动基金(KJ2012B013)．

收稿日期:2014－09－10．

doi:10．11918/j．issn．0367-6234．2016．01．020

中图分类号:TH113. 1

文献标志码:A

文章编号:0367－6234(2016) 01－0133－08