算术教学中培养学生的代数思维浅谈

吕健威

[摘 要]算术思维是代数思维的基础，算术思维发展到一定程度后必然向代数思维过渡。所以，教师应想方设法在低年级的算术教学中培养学生的代数思维，使学生与代数思维同步发展。

[关键词]低年级 算术教学 代数思维 培养 数形结合

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）12-029

《数学课程标准》把“数和代数”放在一起叙述，足见算术思维和代数思维是一个不可分割的整体，且低年级数学知识中存在许多算术思维和代数思维的衔接点。因此，在低年级算术教学中，教师应注重培养学生的代数思维，使学生在数学上获得更好的发展。

一、启蒙：等号作为代数思维的理解

等号，学生一般都认为它像一个从左向右的单向箭头，就在确信相等之前要进行计算。如学生看到6-5时，常常条件反射地写上等号，这个等号被理解成执行四则运算的标志，意为“得到”。于是，在低年级学生作业中就会出现2+3=5×4=20+6=26之类的错误，他们总认为等号后面是前一个算式的得数。这反映了学生在算术中只关注等号的程序性质，忽视或无视等号的关系性质。而卡彭特等人认为：“从算术思维到代数思维的转换标志之一，是从等号的程序观念到等号的关系观念的转变。”因此，在课堂教学中，教师应引导学生把等号理解成表示相等且左右相等的符号。如49+36与转化成的50+35，它们之间仍然是相等的，可以用等号连接；而2+3=5×4=20+6=26中却不存在相等关系，应改为5×4+6=20+6=26。

从低年级起，教师可以结合运算律的教学，引导学生将得数相等的算式用等号连接起来，如3+2=2+3、（13×5）×8=13×（5×8）等，促进学生对相等关系的理解。教师还应通过39+36=40+（ ）、13+（ ）=15+（ ）、8×（ ）=6×（ ）等式子，促进学生灵活运用思维，识别出算式中隐含的结构关系。同时，教师可设计30=2×3×5、30=13+（ ）=90÷（ ）等式子，让“=”在学生头脑中变成双向的箭头，并要求他们做出清晰的左右相等关系的解释。这样教学，既可以培养学生的代数思维，又使他们对等号关系性特点的认识更深入。

二、实践：数形结合的代数思维特征

数形结合中“数”的代数性质与“形”的几何性质的转化是等价的。数形结合就是根据数量与图形之间的对应关系，把抽象的数学语言与直观图形、抽象思维和形象思维相结合。另外，数形结合还是通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要的数学思想。在低年级数学教材中经常见到数形结合的例子，如以数辅形和以形助数等。

1.以数辅形

题目：计划植树60棵，今天已植树20棵，余下的在4天完成，余下的平均每天植树多少棵？

这道题本来定位为算术问题，当用线段图来表示时，数和形之间就存在对应关系，促使学生运用代数思维解决问题。另外，有了图形，数学问题就变得直观；有了数量，图形才成为线段图。

2.以形助数

如教学“认识厘米”一课时，教师设计以下活动：（1）看一看：1厘米有多长？（2）摸尺子：从0刻度到1刻度之间的长度就是1厘米。（3）找一找：从自己的尺子上找到其他的1厘米。（4）比一比：在老师身边或者同学身上，哪些物体的长度大约是1厘米？同时，教师出示如下的练习题：“画一个长5厘米、宽3厘米的长方形。”这个5厘米、3厘米以及所画的长方形都是抽象的，它们不仅是已知与结果的关系，而且存在相互依存的关系，需要学生运用代数思维予以解决。

数学课堂中，对于线段图、几何图形及韦恩图等，教师应引导学生通过已知条件，适当借助数与形（图）的关系来帮助理解，从而实现知识的建构。

三、渗透：式子作为一个数的代数思想

代数式可以是一个数、一个字母或一个式子，而在没有出现字母表示数之前，出现的式子一般都是可以算出一个具体的数（得数）的。如：“电脑小组共有24人，如果3人合用一台电脑，需要几台？”学生用24÷3这个算式来解决问题，得到结果是“8台”，此“8台”也是教师需要的答案，若用24÷3来表示结果，那学生肯定认为不行。这样，学生形成了算式与一个数是不一样的思想，而不去想它们之间的联系。学生受算式表示具体数的影响，在学习代数初步知识时，对形如a-1的式子可以表示一个数量难以理解。因此，在这之前，教师在教学中应该渗透一个式子可以表示一个数的思想。

在学生理解一个算式可以表示一个数后，教师教学时就可以进一步抽象，强调列综合算式解题，为提高学生的抽象思维能力创造了条件。如有这样一道练习题：“老师一共要烤90个面包，已经烤了36个。每次烤9个，剩下的还要烤几次？”同时，教师予以解释：“‘剩下的面包数÷9=还要烤几次，这里的‘剩下的面包数就是90与36的差，列成综合算式应该是‘总数与烤好的数的差除以9，即（90-36）÷9。”这里，教师引导学生把90-36这个算式理解为一个数，参与到列式过程中，使学生理解了算式与数的关系，懂得了添括号的必要性，为以后理解代数式做好准备。

四、坚决：低年级教学必须培养代数思维

1.对算术思维与代数思维的初步理解

算术思维是利用数量计算出答案及得到答案的过程，此过程具有情境性、特殊性、计算性等特点。代数思维是一种形式的符号操作，它的运算过程具有结构性等特点，侧重的是关系的符号化及其运算，是无法依赖直观运作的。此外，算术思维发展到一定程度之后，必然向代数思维过渡。在实际教学中，不少教师提起代数思维，首先想到的是正式学习代数的起步内容“用字母表示数”，这是肤浅的认识，而有的教师明明在低年级教学时运用了代数思维进行指导，但他全然不知这是代数思维。而且，不少教师对代数思维的认识是模糊的，更别提培养学生的代数思维了。

2.代数思维的培养与数学成绩密切相关

有的家长发现自己的孩子在第一学段成绩非常好，但到第二学段后成绩却有所下降，造成这种现象的主要原因之一就是教师在第一学段对代数思想方法的渗透不到位，只是过分强调算术思维的训练。事实证明，教师不能无视算术教学中学生代数思维的培养。因此，教师要重视学生数学思维能力的培养，以此提高课堂教学质量。其实，代数思维是数学思维能力的基础、核心，虽然低年级数学以算术思维为基础，但现代教育理论认为代数思维对低年级数学教学质量的提升有明显的促进作用。

3.培养代数思维必须从一年级开始

代数思维的培养并不是一个经历足够多的练习便可跨越的量变过程，而是必须经历数与代数的抽象、运算与建模等结构转换才能实现的质变过程。学生从算术思维向代数思维过渡需要孕伏，可这样的任务不能只靠学生主动开展、单独面对，也不应该仅仅是高年级教师的教学任务。教师与其着眼于小学和初中代数知识的衔接，不如重视小学第一、第二学段代数思维的衔接。因此，低年级教师应该善于捕捉恰当的内容，寻找恰当的时机，选择恰当的方式，及时培养学生的代数思维。

代数思维应自低年级、在不同知识领域循序渐进地进行培养，贯穿在整个数学教学中。由于小学低年级数学教学的主要任务是边适时孕伏，边适当培养代数思维和意识，因此教师不能过早地引入抽象的代数符号和不必要的术语，以免增加学生的学习负担。

（责编 杜 华）