P范分布的实数阶与对数矩估计法

潘　雄，罗　静，汪　耀

中国地质大学信息工程学院，湖北 武汉 430074



P范分布的实数阶与对数矩估计法

潘雄，罗静，汪耀

中国地质大学信息工程学院，湖北 武汉 430074

Foundation support： The National Natural Science Foundation of China (Nos.41374017；40974002；11471105); The China Postdoctoral Science Foundation (No.2005038362)

摘要：从参数估计的精度和算法的复杂度出发，对P范分布参数的估计方法进行了改进。根据误差分布的实际情况，引入实数阶和对数矩估计方法，建立了P范分布的参数估计的实数阶矩估计方法。首先，利用实数阶矩估计法，导出了形状参数p与实数阶阶数r的关系式，对形状参数的选取给出了相应的建议；其次，改进矩估计理论，利用对数矩估计方法导出了形状参数、期望及中误差的非线性估计公式，消除了函数截断误差对参数估计值计算的影响，并利用迭代算法给出了相应参数的解算方法和计算流程；最后，用一个模拟算例和两个实测算例分析了实数矩、对数矩和极大似然估计3种估计方法的稳定性和精度。结果说明，本文提出的矩估计方法在稳定性、精度和收敛速度等方面均优于极大似然估计方法，推广了现有的误差理论。

关键词：P范分布；矩估计法；参数估计

随着空间测量技术的发展，对卫星轨道精度的要求越来越高，现有的精密定轨软件程序在解算参数时，都是假设计算误差服从正态分布，采用最小二乘估计进行解算。文献[1]指出，在数据处理过程中，由于观测数据中存在粗差、模型不准确以及计算方法不同等，使得观测误差并不服从正态分布。文献[2]从观测误差的实际分布出发，利用LP估计来确定卫星的精密轨道，通过计算，认为LP估计的p值应该在[1，2]之间；文献[3]指出，对GPS观测值误差处理时，当p=1.4左右时精度最高，效率最好。

在实际工作中，对于一组给定的观测误差，往往并不知道这个p取什么值最合适，这就需要利用观测数据提供的信息，正确确定p值，进行相应的估计。此前，许多学者采用极大似然估计法对P范分布的多种形式，如从对称到非对称、一元到多元等情况进行了研究，得到了一些有用的结果[4-9]。当观测样本足够大且分布的形式已知时，极大似然估计是最优估计，其渐近分布为正态分布。文献[10]将半参数回归模型成功地应用到极大似然平差法的参数估计理论中，但形状参数p值的获取是半参数P范极大似然回归的应用前提。然而，P范分布的形状参数值未知，极大似然估计方程是非线性方程，需要迭代计算，迭代计算需要较大的数据量及合适的初值才能保证估计精度，此时自适应LP估计等价于相应的最或然估计[11]，而形状参数的不正确估计又会使得LP估计的效率变低[12]。理论证明，当p=1时，LS估计将比L1估计损失效率50%；当p=2时，L1估计又将比LS估计损失效率27%，因此，选择合适的p非常重要[12]。文献[2,13—15]以SLR数据处理为例说明了自适应LP估计在应用中的稳健性优势，若能获得更可靠的p值，其优势将更为显著。

合理的p值可以体现观测误差最符合的分布，由于p为小数，常用的矩估计法为整数阶估计，本文引入实数阶和对数矩估计方法，导出了相应估计方法的P范分布的参数解算的基础方程，另外，简化了基础方程，消除了普西函数和伽玛函数的导数的计算误差对参数计算的影响，使得参数计算的复杂度降低。

1实数阶矩估计法

(1)

mr=E(|X-u|r)=

(2)

(3)

式(3)包含形状参数p、中误差σ0和阶数r，为了减少参数之间的影响，可以构造如式(4)所示的函数，消除中误差σ0对p的影响

(4)

式中，总体均值u和r阶绝对中心矩可以通过如下样本估计值计算

(5)

k=2,r,r+2

(6)

将式(5)、式(6)代入式(4)，化简得到形状参数的估计式为

(7)

由式(7)得到形状参数p的估计值后，在式(3)中令r=p，得

(8)

2对数矩估计法

对式(3)求导数得

E(|X-u|rln|X-u|)=E(|X-u|r)

(9)

式中，ψ(·)为普西函数。

对式(9)化简得

(10)

在式(9)中，令r=0 可得观测值的一阶对数绝对矩为

(11)

用样本矩代替总体矩，综合式(10)、式(11)，化简得参数p的估计表达式为

(12)

为了消除ψ(·)计算误差及阶数对参数计算的影响，在式(12)中，取r=p，由ψ(·)的性质得

(13)

由式(8)得到参数u的估计表达式为

(14)

3参数的解算

(15)

(16)

将f1(u+Δu,p+Δp)=0，f2(u+Δu,p+Δp)=0在μ、p处展开成泰勒级数，略去二次以上各项，则有

(17)

(18)

联立求解式(15)—式(18)，将μ+Δμ、p+Δp作为新的近似值，即可进行下一次迭代计算。其中，式(15)、式(16)分别对μ、p的偏导数为

夜深人静的时候，我躺在自己的出租屋里对着天花板发呆。以为自己恋爱了一回，到头来还是一场误会。南方的爱情就像南方的天，阴晴无常。

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

4算例分析

4.1阶数对精度的影响

从图中可以看出，阶数r的取值越接近形状参数实际值，参数估计值越接近其真实值，其相对偏差也越小。因此，可以认为当阶数r近似取p值时，实数阶矩估计法的估计精度最高。不妨以拉普拉斯分布为例，其样本个数、阶数及形状参数

的关系如表1所示。

图1　p=1时，不同r对应估计量p的相对偏差曲线Fig.1　The relative deviation curve of estimation p with different r when p=1

图2　p=2时，不同r对应估计量p的相对偏差曲线Fig.2　The relative deviation curve of estimation p with different r when p=2

由表1可以看出，当子样较少时，无论阶数r取何值，计算得到的参数估值均偏离真实值，阶数与形状参数的差值越大，精度越低。随着参与平差的子样数逐步增多，对应各阶数计算得到的参数估值逐渐趋近于真实值。

4.2模拟算例对比分析

表1　p=1时，形状参数与阶数和样本数的关系

表2　p=1时的参数估计结果对比

表3　p=2时的参数估计结果对比

从表2、表3可以看出，当子样较少时，对数矩估计法与极大似然平差法估计结果均与实际值相差较大，随着观测子样的增加，两种方法所得到的参数估计值呈现出越来越接近真实值的趋势。当子样数较小，在估计3个参数时，对数矩估计法在收敛速度、稳定性和精度上明显优于极大似然估计法。

4.3实际算例1

图3　p=2时，估计量p的相对偏差曲线Fig.3　The relative deviation curve of estimation p when p=2

图4　p=2时，估计量σ的相对偏差曲线Fig.4　The relative deviation curve of estimation when p=2

n对数矩估计法极大似然估计法^p^u^σ迭代次数^p^u^σ迭代次数102.3234-0.03470.1244135.4122-0.04730.1377109201.9157-0.02130.075630.9999-0.02120.083182301.2138-0.01450.081340.9998-0.01460.084441401.73020.00980.097241.4567-0.01340.0977114501.50860.01990.098972.12410.01050.098346601.54640.00470.089351.88450.00590.088562701.5642-0.00750.099941.3412-0.00770.100943801.6296-0.00090.109651.80350.00050.109175901.6138-0.00270.1079121.8754-0.00120.1073721001.5943-0.00260.104581.7403-0.00290.109010

通过表4可以得出结论，当样本服从p=1.6的P范分布时，采用对数矩估计法估计形状参数p值的估计精度要高于极大似然估计法，而对均值u和方差σ的估计效果相当，同时对数矩估计法的迭代次数要远小于极大似然估计法，对数矩估计法的收敛速度较快，表明对数矩估计法能快速定位形状参数p。

4.4实际算例2

由文献[3]可知，经消除GPS观测值中的粗差，完成电离层折射误差、对流层折射误差等多项改正后，GPS输出的最终观测值误差，经检验得知，该母体服从p=1.4的P范分布。

本文算例所用数据来自加拿大Algonquin Park的ALGO测站点，利用TPS NET-G3A接收机，采集获得2013年4月28日全天的观测数据。在获得的32颗卫星数据中，选取某颗卫星伪距的PPP双频无电离层组合观测值残差进行分析。取200个误差值作为原始数据，分别利用对数矩估计法与极大似然估计法对参数u、p和σ进行计算，得到的结果如表5所示。

表5不同方法计算得到的参数估值对比

Tab.5Comparison of parameters estimation via different methods

参数^p^u^σ迭代次数真实值1.4000000.00000——对数矩估计法1.381095-0.0504260.4452287极大似然估计法1.323699-0.0507350.44624613

从表5可以看出，针对本组试验数据，当形状参数p为1.4时，两种估计方法的效果均较好，其中对数矩估计法的精度稍高于极大似然估计法，且其迭代次数明显少于极大似然估计，因此采用对数矩估计法能够更快速精确地估计出误差的实际分布参数，再次表明对数矩估计法优于极大似然估计法。

5结论

本文研究了P范分布的实数阶矩估计方法，利用模拟算例讨论了阶数r与参数估计精度的关系，推导出形状参数、期望和中误差的估计公式，引入对数矩估计方法，消除了伽玛函数、普西函数的截断误差对参数估计值计算造成的影响，给出了相应参数的求解方法和计算过程，用模拟算例和实测数据验证了本文理论的正确性，得到了以下结论：

(1) P范分布能够精确地确定观测数据的最符合分布，本文给出了任意实数阶矩估计公式。利用实数阶矩估计法得到的参数估计值精度与阶数的关系较大。当阶数r的取值越接近p，由实数阶矩估计法计算得到的参数估计量相对偏差越小，其估计精度越高。然而在参数估计过程中，r的选取方式比较复杂，合理的阶数的选取方法值得进一步研究。

(2) 对数阶矩估计方法降低了算法的复杂度，计算简单。从模拟和实测数据可以看出，对数估计方法在参数估计的精度、稳定性和收敛速度以及算法的复杂度等方面优于极大似然估计方法。对于模拟数据，实数阶和对数矩估计法略优于极大似然估计法，对于实测数据，对数矩估计法优势较明显，是一个较好的参数估计方案。

(3) 观测数据的分布受外界因素和样本数量的影响，采用P范分布能够较好地估计参数，接近误差的真实分布。观测样本数越大，计算得到的分布越接近它的真实分布，估计精度也越高。

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(责任编辑：张艳玲)

2016中国智慧城市与测绘地理信息发展高层论坛举办

[本刊讯]3月16日，由中国测绘地理信息学会、江苏省测绘地理信息局、中国矿业大学和盐城市人民政府联合主办，《测绘学报》编委会、江苏省测绘地理信息学会、中国矿业大学环境与测绘学院、盐城市科技局、江苏星月测绘科技股份有限公司承办的2016中国智慧城市与测绘地理信息发展高层论坛在盐城举办。国家测绘地理信息局副局长、中国测绘地理信息学会理事长李维森出席开幕式并讲话，江苏省测绘地理信息局局长施建石、盐城市人民政府副市长张京麒出席开幕式并致辞，李德仁、王家耀、张祖勋、杨元喜、郭仁忠等两院院士出席论坛。

李维森副局长，李德仁、王家耀、杨元喜、郭仁忠院士，长江学者吴立新教授分别作了题为《测绘地理信息与智慧城市》《展望大数据时代的地球空间信息学》《“互联网+时空大数据”与智慧城市》《综合PNT系统》《智慧城市：大数据时代的城市治理》《智慧大丰与资源环境动态监测》的主题报告。论坛还设立了主题为“智慧城市与测绘地理信息发展”的高端对话环节，李德仁、张祖勋、杨元喜、郭仁忠、史照良、孙群、刘耀林、李满春、吴立新等9位学者围绕测绘地理信息在智慧城市建设中的作用、测绘地理信息行业如何借助“互联网+时空大数据”实现跨界融合跨越发展、测绘地理信息行业如何更好地服务智慧城市建设等议题进行了高端对话，并与参会人员进行互动。

会上，还举行了星月测绘商城上线暨星月众创空间启动仪式。来自政府部门、高校、科研机构、企业界和媒体代表300余人参加了此次论坛。

(本刊编辑部)

Real Order and Logarithmic Moment Estimation Method of P-norm Distribution

PAN Xiong，LUO Jing，WANG Yao

Faculty of Information Engineering, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China

Abstract：The estimation methods of P-norm distribution is improved in this paper from the perspective of the parameters estimation precision and algorithm complexity. The real order and logarithmic moment estimation is introduced and the real order moment estimation method of P-norm distribution is established based on the actual error distribution. First of all, the relation between the shape parameter p and the real order value r is derived by using the real order moment estimation, and corresponding suggestions are provided for shape parameter’s selection. Then, the nonlinear estimation formula of shape parameter, expectations and mean square error is derived via logarithmic moment estimation, function truncation error on the calculation of parameter estimation is eliminated and the solving method of corresponding parameters and calculation process is given, leading an improvement of the theory. Finally, some examples are performed for analyzing the stability and precision of such three methods including real order moment, logarithmic moment and maximum likelihood estimation. The result shows that the stability, precision and convergence speed of the method in this paper are better than maximum likelihood estimation, which generalized the existing errors theory.

Key words：P-norm distribution; moment estimation; parameter estimation

基金项目：国家自然科学基金(41374017；40974002；11471105)；国家博士后基金(2005038362)

中图分类号：P207

文献标识码：A

文章编号：1001-1595(2016)03-0302-08

作者简介：第一 潘雄(1973—)，男，博士后，教授，研究方向为测量数据处理的理论及应用。E-mail： pxjlh@163.com

收稿日期：2015-03-30

引文格式：潘雄，罗静，汪耀.P范分布的实数阶与对数矩估计法[J].测绘学报，2016,45(3)：302-309. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150166.

PAN Xiong, LUO Jing, WANG Yao.Real Order and Logarithmic Moment Estimation Method of P-norm Distribution[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(3):302-309. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150166.

修回日期： 2015-11-04

First author： PAN Xiong(1973—),male, postdoctoral, professor, majors in the research on the theory and application of surveying data processing.