教师如何在课堂中做一个“好问者”

摘 " 要

教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

关键词

情境 "数学教学 "圆周角

【教学过程片段】

1.创设情境。

问题：足球训练场上教练在球门前画了一个圆圈进行无人防守的射门训练如图（1），甲、乙两名运动员分别在C、D两处，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB的张角大，如果你是教练，请评一评他们两个人谁的位置对球门AB的张角大？

师：图中的∠C、∠D与我们前面所学的圆心角有什么区别？

生1：图中角的顶点在圆上，而圆心角的顶点在圆心上。

师：这样的角我们叫它圆周角，今天我们将一起来研究圆周角。（教师板书课题：圆周角）

2.合作探究、提出猜想。

师：谁能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗？

生2：顶点在圆上的角叫圆周角。

师：那么大家看黑板上的这个角和图1中的∠C、∠D一样吗？（教师在黑板上画出一个反例，如图2）

生3：我觉得不一样，∠C、∠D除了顶点在圆上，它们角的两条边还和圆相交，而黑板上的角却没有。

师：你能更准确地给圆周角下个定义吗？

生3：我觉得圆周角应该是顶点在圆上，两边与圆相交的角。

（教师肯定学生的定义，并板书圆周角定义： "顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角）

师：分析圆周角的定义，从定义看圆周角有什么特征？

生4：圆周角有两个特征：① 角的顶点在圆上，② 角的两边都与圆相交。

问题1：判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。

（借助问题1的解决让学生进一步体会两个特征必须都具备的角才是圆周角）

问题2：画弧BC所对的圆心角，然后再画同弧BC所对的圆周角，你能画多少个同一条弧所对的圆心角？多少个圆周角？

（设计本问题的目的是：引导学生发现同弧所对的圆周角有无数个，圆心角只有一个，这里还要区别同弧所对的圆周角和所含的圆周角）

师：通过画图，你们发现同一条弧所对的圆心角有几个？圆周角有几个？

生5：同一条弧所对的圆心角只有一个，圆周角有无数个。

（生6上黑板画同弧所对的圆心角和圆周角，如图3）

师：还有没有与∠D、∠E不一样的圆周角？如果有就上黑板来画在刚才这位同学画的图上。

（生7上黑板在图3上补画出∠F、∠G，如图4）

师：你能说说你画的∠F、∠G与∠D、∠E的区别吗？

生7：我画的∠F在圆的左边，∠G经过圆心。

师：还有没有不同的圆周角？

（生8上黑板画出∠H，如图5）

师：∠H是弧BC所含的圆周角，不是弧BC所对的圆周角，大家要注意所对与所含的区别。

师：看图4，弧BC所对的圆周角可画无数个，那么这无数个圆周角能不能分分类呢？

生9：我觉得∠F、∠E可以是一类，∠D一类，∠G一类，因为圆心O的位置分别在它们的形外、形内和形上。

师：分得非常好，根据圆心和圆周角的位置关系我们可以将弧BC所对的无数个圆周角统分为三类：①圆心在形外的圆周角，②圆心在形上的圆周角，③圆心在形内的圆周角。

师：这些圆周角到底有哪些特性呢，下面请同学们来合作探究，小组讨论交流，完成问题3。

问题3：两人一小组，根据下面的三个问题互相交流。

（1）量一量你所画的所有圆周角的度数，有何发现？

（2）量一量你所画的圆心角的度数，又有何发现？

（3）你得出了什么猜想？

（学生测量圆周角和圆心角的度数，并进行合作、讨论交流）

生10：我们发现这些圆周角都相等且等于圆心角的一半，因此我们得出猜想：同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。

（教师在黑板上板书猜想：同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半）

3.验证猜想。

师：那怎么来验证你们的猜想呢？

生11：我觉得猜想有两个结论：同弧所对的圆周角相等;同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。要验证这两个结论其实只要验证同弧所对的所有的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半，只要这个结论能够验证，同弧所对的圆周角相等就会自然成立。

师：同弧所对的圆周角有无数个，又如何来验证这无数个圆周角都等于该弧所对的圆心角的一半呢？

生12：刚才我们已经把这无数个圆周角分成了三类，只要从这三类中各找一个代表验证一下，如果都成立，就可以说明这些圆周角都等于该弧所对的圆心角的一半了。

师：说得很好，那么你们打算从哪一类开始下手验证呢？

生13：可以从圆心在角的形上的开始验证，因为它比较特殊只有一个，且最好验证。

师：好，那你就来说说看。

（生13口述圆心在圆周角边上的验证过程，教师将学生的验证过程用多媒体展示出来）

证明： ∵OA=OB，

∴∠A=∠B.

又 ∵∠COB=∠A+∠B，

∴∠A= ∠COB.

师：其他两种情况如何验证呢，大家可以小组交流、讨论一下。

（学生交流、讨论，但学生一时难以找到证明的途径，我就把第一种圆心在圆周角边上的特殊情况投影出来，并和第二种情况的图形放在一起，让学生认真观察，找出两个图形之间的联系，如图7）

师：现在观察这两幅图，你们能从中想到解决问题的方式吗？

生14：在第二种情况的图形中添一条辅助线——直径AC，就可以在这幅图中发现两个第一种情况的基本图形，利用刚才验证的结论，易知：∠OAB= ∠COB、∠OAD= ∠COD，从而可知：∠OAB+∠OAD= ∠COB+ "∠COD，即：∠DAB= ∠DOB。

师：解决得非常出色，那第三种情况怎么验证呢？

（由于图形相对第二种情况又复杂了一些，学生同样一时难以找到证明的途径，我又把第一种圆心在圆周角边上的特殊情况投影出来，让学生认真观察，找出两个图形之间的联系，如图8）

生15：和刚才一样，我们只要在图中添辅助线——直径AC，同样可以发现两个第一种情况的基本图形，利用第一种情况的结论，同样可知：∠OAB= ∠COB、∠OAD= ∠COD，从而可知：∠OAB-∠OAD= ∠COB- ∠COD，即：∠DAB= ∠DOB。

师：通过刚才大家的验证，我们可以肯定：同弧所对的所有的圆周角都等于其所对的唯一的圆心角的一半，因为同弧所对的圆心角只有一个，因此，这些圆周角也是相等的，这样我们就验证了大家刚才的猜想：同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。

（教师和学生一起写出定理的符号语言描述，同时指出这种将得证的第二、三种情况转换为已证的第一种情况的思维是化归思想，是今后学习常用到的方法）

【设计说明】

在前面所述的《义务教育数学课程标准（2011年版）》的理论引领下，本节课的教学设计充分考虑了学生已有的知识水平，借助学生对圆心角的理解，利用类比的方法让学生来探究圆周角的概念。同时本节课又紧紧围绕“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”这一思想，在教学设计上充分考虑为学生创造自主探究、合作交流的问题情境和活动内容，设计了足球射门这一学生感兴趣的问题情境，激发学生的探究欲望，在分析“同弧所对的圆周角相等，且等于该弧所对的圆心角的一半”这一结论时，又设计了让学生自己画图、自主测量、自己猜测数学结论、共同合作验证的教学环节。整节课以学生的自主探究为主线，采用“问题情境——合作探究、归纳猜想——验证猜想——应用拓展”的模式展开教学活动。

【教学反思】

本节课的教学设计以学生的自主探究为主线、强调四基的教学及综合应用能力的培养，并注意及时帮助学生总结解题过程中收获的经验，把它口诀化，对提高学生的解题速度和效率是很有帮助的，但由于本节课学生自主探究的过程较多，所以课的时间安排上有点前松后紧的感觉，所以建议平时教学中要提高学生自主探究的效率，从而提高整个数学课堂的效率。

【专家点评】

在我们的日常生活中，圆周角和圆心角的现象无处不在，对于这两个概念的体验尤为重要，纵观整节课我觉得有以下几个特点：

1.本节课以足球场上的射门张角大小为问题情景引人，直指数学问题，使数学问题的形成和提出自然且亲近。情景创设重视联系学生的生活实际，让学生体验到生活中处处有数学。

2.用多种感官感受数学，培养数学情感。学生在本课中不是用耳朵听数学，而是用眼睛观察、动手画图操作，让学生在做中体会数学现象，并寻求用数学知识解释身边的数学现象，在探讨、交流、分析中获得数学概念，拉近了抽象的数学概念与生活实际的距离。

3.重视数学知识的形成过程，让学生感受到学习数学的快乐。先通过一系列的问题链引导学生进行实践操作，观察比较，分类确认，使圆周角与圆心的位置关系分成三类，这一主要难点自然形成且直观，接着引导学生从三种情况进行分析，推导圆周角定理的证明过程，顺畅地解决了分类证明的难点，定理学完后，马上进行适当的练习加以巩固，学生在思考与回答的过程中充分体会到学习数学的快乐。

在上述探索过程中，从特殊到一般，再从一般到特殊，直观感知、合情推理与严格验证相得益彰，以学生活动为核心，适时渗透“分类”“化归”“归纳”等数学思想，有效提高了学生的推理能力，充分体现学生的主体性与教师的启导作用。本节课的不足之处在于，对定理的运用时间仓促，特别是应用拓展环节没能给学生充分独立思考的时间，部分学生还没能形成构造同弧所对的圆周角来解决问题的意识，还需要在后期的学习中加以强化。

（作者为江苏省常州市金坛区教师发展中心教研员）