一种基于Hamming自乘法窗函数和四插值的谐波分析方法

张俊敏，刘宗方，陈　勉

(中南民族大学 计算机科学学院，武汉 430074)



一种基于Hamming自乘法窗函数和四插值的谐波分析方法

张俊敏，刘宗方，陈勉

(中南民族大学 计算机科学学院，武汉 430074)

摘要针对谐波分析过程中常规窗函数存在精度不足的问题，提出了一种自乘法窗函数的构造方法，并以Hamming窗函数为例构造出1-9阶乘法窗函数，将这些窗函数应用于四谱线插值谐波分析方法中，仿真实验表明：构造出的自乘法窗函数相对于常规窗函数，在进行插值谐波分析中具有更高的准确度.工程实践中可根据精度需要选择所构造的窗函数阶次.

关键词谐波分析；自乘法窗函数；汉明窗；四插值

A Harmonic Analysis Method Based on Hamming Self-Multiplication Window Functions and Four-Spectrum-Line-Interpolation

ZhangJunmin,LiuZongfang,ChenMian

(College of Computer Science, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

AbstractIn view of precision insufficient of the conventional window functions used in harmonic analysis, this paper introduced a construction method of self-multiplication window functions, and gave self-multiplication window functions of 1-9 orders based on Hamming window, and meanwhile verified a harmonic analysis method of four-spectrum-line-interpolation based on these multiplication window functions. The simulation experiments show that the constructed window function has a higher accuracy comparing to the conventional window function interpolation algorithm. In practical engineering, we can choose the constructed window function orders according to the needs of precision.

Keywordsharmonic analysis; self-multiplication window function; Hamming window; four-spectrum-line-interpolation

电网中非线性器件的使用带来了谐波问题，不仅恶化了电能质量，对电网的安全稳定和经济运行也造成较大影响[1,2].因此，对电网中谐波参数进行测量，一方面可以明确当前系统的运行状态；另一方面对于减少谐波危害，维护电网安全稳定、高效运行是十分必要的.

谐波检测的关键问题为非同步采样下如何解决频谱泄漏和栅栏效应，常见检测方法主要有傅里叶变换插值算法、机器学习法、小波变换、功率谱估计、希尔伯特-黄变换.傅里叶插值算法是运用各种特殊窗函数对信号进行截断，然后结合谱线插值 FFT进行谐波分析[3].常用窗函数，例如汉宁(Hanning)窗函数[4]、布莱克曼汉斯(Blackman-Harris)窗函数[5]、纳托尔(Nuttall)窗函数[6]、莱夫文森特(Rife-Vincent)窗函数[7]在插值运算中得到应用；一系列自卷积窗函数，如三角自卷积窗函数[8]、矩形自卷积窗函数[9]、Hanning自卷积窗函数[10]等也被提出.在加窗基础上，Wu Jing等人和牛胜锁等人提出了三谱线修正算法[11-19]，D. Agrez[15]和庞浩[4]等人各自提出了双谱线的修正算法.这些改进降低了频谱泄漏和栅栏效应的影响，提高了谐波分析的准确性.

为了进一步提高加窗插值算法的精度，本文在自乘法窗函数的基础上，构建了1-9阶Hamming自乘法窗函数.计算实例表明：该算法相对于双谱线和三谱线插值算法，具有更高的准确度.

1Hamming自乘法窗

自乘法窗函数的定义为：若干个相同窗函数进行相乘所构成的新的窗函数.乘法窗的公式为：

(1)

其中w(n)为基本窗函数；p为参加乘法的窗函数个数，称为乘法窗的阶数，p=1时即为原窗函数.

p阶Hamming乘法窗的主瓣宽度(MB)为8+4p，随着乘法阶数p的增加而变宽，如表1所示.

表1　Hamming自乘法窗函数频谱特性

2四插值算法原理

对单一频率信号进行分析，假定一个频率为f0，幅值为A，初始相位为φ的信号x(t)以采样频率fs采样后，得到如下形式的离散信号：

x(n)=Asin(2πnf/fs+φ),

(2)

式中n=0,1,…,N-1，N为采样点数.

所加离散余弦窗函数的表达式为：

(3)

式中n=0,1,…,N-1;M为窗函数项数；窗函数系数bm满足如下约束条件：

(4)

对离散信号x(n)进行加窗，得到xw(n)=x(n)w(n)，离散傅里叶变换后得到：

(5)

(6)

对信号的非同步采样或非整周期数据截断时，由于栅栏效应，信号的峰值频率f0=k0Δf很难刚好位于离散谱线的频点上，即k0一般不为整数.设峰值频率点左右各两条谱线分别为k1

记α=k-k2-0.5，由于0≤k-k2≤1，则-0.5≤α≤0.5，另记：

(7)

根据式(4)和(5)可以得到：

(8)

当N值较大时，式(8)可以化简为β=g(α)，其反函数为α=g-1(β).由于所采用的余弦窗系数均为实系数，其频率响应是偶对称的，因而g(g)和g-1(g)均为奇函数.可采用多项式逼近方法计算奇函数α=g-1(β)，表达式为：

α≈p11β+p13β3+…+p1pβp.

(9)

式中p11,p13,…,p1p为多项式逼近的奇次项系数.

求得α后，得出信号频率：

f0=kΔf=(k2+α+0.5)Δf.

(10)

信号幅值根据式(6)可知：

(11)

考虑到y2,y3是离真实谱线点最近的两根谱线，故给予较大权重，可以得到：

(12)

类似式(9)的逼近方法，当N比较大，窗函数系数为实系数，式(12)可表示为：

A=N-1(y4+2.5y3+2.5y2+y1)u(α),

(13)

式中u(g)为偶函数，逼近多项式不含奇次项.四谱线修正逼近多项式如下：

A=N-1(y4+2.5y3+2.5y2+y1)(p20+p22α2+…+

p2dαd),

(14)

其中p20,p22,…，p2d为多项式逼近的偶次项系数.

根据式(6)还可以得出信号的相位：

(15)

根据式(8)、(9)、(11)、(14)、(15)即可进行各次谐波参数的分析.考虑到其中大量窗函数的离散傅里叶分析，其表达式为：

(16)

由于N>>1，可以得到：

(17)

3算法仿真

为了验证所提算法的精度，进行9次谐波仿真分析.信号模型为：

(18)

式中基波频率f1为50.5Hz；采样频率fs为5120Hz；数据的截断长度N为1024点.仿真所采用的信号参数如表2所示.

表2　谐波信号参数

对截断的数据分别加表1所示的自乘法窗函数，然后进行FFT插值分析.以下研究插值算法对检测精度的影响，修正算法中的拟合多项式次数均取5次，算法流程图在文献[7]中有详细说明，此处不予赘述.

仿真结果由表3～表5给出，其中DAi表示基波和各次谐波幅值测量值的相对误差，Df0表示基波频率测量值的相对误差，Dφi表示基波和各次谐波初始相位测量值的相对误差，均用百分比表示.

表3　Hamming自乘法窗频率测量相对误差

表4　Hamming自乘法窗幅值测量相对误差

表5　Hamming自乘法窗相位测量相对误差

由以上的仿真结果可以看出，本文所推导的四谱线插值FFT计算方法，计算结果普遍好于文献[18]中所述双谱线和三谱线插值算法；同时从表3～表5数据可以看出，随着窗函数阶次的增加，与文献[18]的结果比较，四谱线插值在奇数次谐波检测上的性能提升空间不大，但在偶数次谐波检测上的精度提升很大，这也是四谱线插值的主要优点.随着乘法窗函数阶次的增加，副瓣衰减变大，可以改善由于非整数截断带来的频谱泄漏；但主瓣越来越宽，对谐波检测精度是不利的，这点在数据中也有所体现.当乘法窗函数阶次提高，窗函数系数会增加，在时域中加窗有时候会相应增加计算量.

4结论

在对信号进行FFT谐波分析时，通过加窗和插值算法可以减少由于非同步采样或者对数据的非整周期截断所引起的误差.本文在各阶Hamming自乘法窗函数的基础上推导了四插值算法.实验结果表明：本文所提出的四谱线算法总体精度较优，在检测偶次谐波参数时计算精度更高，具有较高的实用价值.8阶自乘法窗函数以下，阶次越高计算精度越高，相应时域乘法计算量也会增加，在工程上可根据本文的仿真结果精度选择合适的窗函数.

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中图分类号TM711

文献标识码A

文章编号1672-4321(2016)01-0132-04

基金项目国家自然科学基金资助项目(50677048)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(CZY14008)

作者简介张俊敏(1977-) ，女，副教授，博士，研究方向：电力系统及其自动化，E-mail: 173902815@qq.com

收稿日期2016-01-04