捕捉湖南卷中的那些亮点

阳志长

2015年高考已经结束，留给2016届考生的是弥足珍贵的试题资源.与2014年相比，2015年高考湖南数学试卷没有太大的变化，必考知识点和常考知识点照旧，平和中不失新意，朴实中彰显能力，取材和知识点的分布向全国新课标卷靠近，文、理科通用题和“姊妹题”所占的比例剧增.现与同学们一道，捕捉2015年高考湖南数学试题的亮点，探讨问题，研究策略，以开发和利用好试题资源.愿同学们把握好高三数学复习的方向，在2016年高考中取得好成绩.

亮点1：试题以“平和”为主调，在传承中体现创新

例1 （文科卷第9题、理科卷第8题）已知点A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为（2，0），则|++|的最大值为

A.6 B.7 C.8 D.9

难度系数 0.65

分析 为求向量模的最值，同学们需要考虑向量的表示.从题目的条件和解答选择题的基本方式出发，同学们可以从向量的坐标表示入手，展开思考.

解 取点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（1，0），设点B的坐标为（x，y），则++=（x-6，y）.所以|++|=，它的几何意义是点B（x，y）与定点D（6，0）的距离.当点B与点A重合时，|++|有最大值7.选B.

小结 本题考查向量的模、向量的运算等知识，是选择题中较靠后的题目，难度并不大，体现了整套试卷以“平和”为主调的特点.同学们也可以设点B的坐标为（cos θ，sin θ），然后运用三角函数的知识求|++|的最大值.同学们还可以化简向量式++，得到++=2+（O为圆心），然后运用向量的加法运算的几何意义进行求解.这样不但可以求|++|的最大值，还可以求|++|的最小值.此题与2014年高考湖南文科卷第10题相似，在传承中体现创新，同学们可以从中揣摩命题者的意图和形成试题资源开发的基本思路.

亮点2：试题以“多元”为导向，在朴实中彰显能力

例2 （理科卷第9题）将函数 f（x）=sin 2x的图像向右平移φ（0< φ <）个单位后得到函数 g（x）的图像.若对满足| f（x1）- g（x2）|=2的x1，x2，有|x1-x2|min=，则φ=

A. B. C. D.

难度系数 0.55

分析 函数的图像进行左右平移，不会改变函数的最值.由条件可知，x1，x2为函数 f（x）相邻的最大值点和最小值点，同学们可以从三角函数的周期性入手来进行突破.

解 据题意可知，函数f（x）和g（x）的最大值均为1，最小值均为-1.由| f（x1）- g（x2）|=2，可知f（x1）和 g（x2）中有一个取最大值1，另一个取最小值-1.由于函数 f（x）的最小正周期为π，相邻的最大值和最小值相距，所以- φ =，即φ =.选D.

小结 本题考查三角函数的图像平移、最值和周期等知识，以“多元”为导向，引领考生从不同的视角展开观察与思考，在朴实的数学语言转换和整体把握中彰显甄别能力.如果考生在x1，x2的位置等局部问题上纠缠，就容易错选答案和耽误时间，从而造成丢分或隐性失分.本题与2015年高考湖南文科卷第15题属于同类问题，同学们可以结合起来进行探讨，以形成解题规律，避免下次碰到同类的问题做错.

亮点3：试题以“生活”为背景，在真实中凸现灵动

例3 （文科卷第10题）某工件的三视图如图1所示.现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）

A. B.

C. D.

难度系数 0.45

分析 原工件为圆锥，其体积容易求出.按照材料利用率的定义，同学们可以从新工件的体积和棱长入手，来寻找突破口.

解 由三视图可知原工作为圆锥，其高为=2，其体积为×π×12×2=.要使正方体新工件的体积最大，则其下底在圆锥的底面内，上底面是平行于圆锥底面的截面的内接正方形，如图2所示.作轴截面，AB为底面正方形的对角线，设正方体的底面边长为a，则AB=a.根据相似三角形的知识，可得=，解得a=，于是新工件的体积为a3=.故材料利用率为÷=.选A.

小结 本题以“生活”为背景，采用新定义的方式，考查三视图、圆锥内接正方体、相似三角形等知识.在解题时，同学们不能墨守成规，而要将课本外的知识转化为课本内的知识.考查AB为底面正方形对角线时所在的轴截面，在真实中凸显灵动，将题目解活了.本题与2015年高考湖南理科卷第10题是“姊妹题”，它们都是2014年高考湖南文科卷第8题和理科第7题的变式题、改编题.同学们可以进行比较研究，针对自己的解题困难，到近五年的全国新课标卷中挑选相关的问题，进行适当的补偿练习，以掌握这类题目的思考方向和解答方法.

亮点4：试题以“目标”为导引，在常态中突出通法

例4 （文科卷第19题）设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，a2=2，且an+2=3Sn-Sn+1+3，n∈.

（Ⅰ）证明：an+2=3an；

（Ⅱ）求Sn.

难度系数 0.48

分析 由待证可知，第（Ⅰ）题宜将“通项与和的等式”转化为“递推公式”.第（Ⅱ）题可以结合第（Ⅰ）题的铺垫，预测解题方向，在过程中调整解题方法.

（Ⅰ）证明：由条件可知，对任意n∈，有an+2=3Sn-Sn+1+3，所以对任意n∈，n≥2，有an+1=3Sn-1-Sn+3.上述两个等式对应相减，得an+2-an+1=3an-an+1，整理得an+2=3an，n≥2.又a1=1，a2=2，所以a3=3S1-S2+3=3a1-（a1+a2）+3=3a1.故对一切n∈，an+2=3an.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，an≠0，所以=3.所以，数列{a2n-1}是首项为a1=1，公比为3的等比数列；数列{a2n}是首项为a2=2，公比为3的等比数列.所以a2n-1=3n-1，a2n=2×3n-1.于是有S2n=a1+a2+…+a2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）=（1+3+…+3n-1）+2×（1+3+…+3n-1）=3×（1+3+…+3n-1）=，从而有S2n-1=S2n-a2n=-2×3n-1=（5×3n-2-1）.

综上所述，Sn=（5×3-1），n为奇数，（3-1），n为偶数.

小结 本题考查数列的通项公式、前n项和、等比数列等知识.同学们可以从第（Ⅰ）题待证中得到启发，确立“通项与和的等式”的转化方向，从而得到第（Ⅰ）题的简捷证明.又以第（Ⅰ）题的结论为铺垫，分奇偶项判断出数列为等比数列，以此目标为导向，运用分组求和的方法，求出Sn.此题简洁、“面善”，不会给同学们过重的心理压力，在常态中突出求和的“通性通法”.但是，在证明第（Ⅰ）题时，部分考生由于缺少验证环节而失分.在解答第（Ⅱ）题时，考生的易错点出现在求S2n-1以及将前n项和写成分段函数的形式，这需要引起同学们的警觉，在平时做题中就应该重视解题方向的预测和过程的调控.

亮点5：试题以“参数”为载体，在综合中挑战智慧

例5 （文科卷第21题）已知a >0，函数f（x）=aexcos x（x∈[0，+∞））.记xn为f（x）的从小到大的第n（n∈）个极值点.

（Ⅰ）证明：数列{f（xn）}是等比数列；

（Ⅱ）若对一切n∈，xn≤|f（xn）|恒成立，求a的取值范围.

难度系数 0.24

分析 从极值点的概念出发，通常先求导函数f ′（x）的零点，再观察f ′（x）在零点附近的符号，从而确定极值点.第（Ⅰ）题可以采用定义法来证明，第（Ⅱ）题通常运用“分离参变法”和将其转化为求函数的最值来求解.

参考答案 （Ⅰ）（证明过程省略） （Ⅱ）a的取值范围是[e，+∞）.

小结 本题考查函数、导数、极值、不等式、数列等知识，思路简单，但由于参数的介入，增加了问题的综合程度.第（Ⅰ）题的难点是判断f ′（x）的符号，如果考生有归纳意识，就能突破这个难点；第（Ⅱ）题的难点是化归为≤，构造函数g（t）并寻求它的最小值，在综合运用中挑战考生的数学智慧.本题是2015年高考湖南理科卷第21题的“姊妹题”，理科考生可以进行对比研究，以把握相关问题的解题策略，智解2016年高考数学“压轴题”.

（责任编校 周峰）