从生活实例讲高斯公式与斯托克斯公式

周正松

【摘要】高斯公式和斯托克斯公式是多元微积分中的两个非常重要的公式，然而在学习时并不容易理解和掌握，本文通过引入生活实例加图例的方法，对这两个公式以及散度和旋度概念进行了形象直观的阐述，使之更容易接受和理解，并能灵活应用到实际问题中。

【关键词】高斯公式 斯托克斯公式 散度旋度

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）03-0140-02

在理工科教学中，高斯公式和斯托克斯公式是高等数学课程中两个非常重要的公式，对学生理解曲线、曲面积分，以及后续专业课程如电磁学、数学物理方程的学习都起着相当重要的作用，同时这两个公式也是考研数学中的热门考点。在国内大学通用的同济大学数学系编著的《高等数学》[1]教材中，讲到高斯公式和斯托克斯公式这部分内容时，都是先直接给出定理，然后加以证明并介绍其应用。然而在具体课堂教学时，要用这种方式讲好这部分内容，使学生能比较轻松地接受和理解它们，并不是一件容易的事情。为了使学生更好地理解并灵活应用它们，本文通过引入生活实例加图例的方法，对这两个公式以及散度和旋度概念进行了形象直观的阐述。

一、高斯公式与散度

设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，若函数 P（ x，y，z） ，Q（ x，y，z） 与R（ x，y，z）在上具有一阶连续偏导数，则有高斯公式（散度公式）：

在日常生活中，我们经常见到如图1-3用榔头钉钉子，灯泡或太阳向四周辐射光线，点燃的烟花向周围爆炸等现象。对这些现象进行对比观察，发现都具向四周散射的效果。

二、斯托克斯公式与旋度

设 为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，若函数P（ x，y，z），Q（ x，y，z） 与R（ x，y，z）在曲面（连同边界）上具有一阶连续偏导数，则有斯托克斯公式（旋度公式）：

在日常生活中，我们见到过如图5-7两人扳手劲、用电钻钻孔、旋螺钉、用磨子推磨等现象。对这些现象进行对比观察，发现都具向旋转的效果。

我们不妨对旋螺钉的效果进行受力分析，如图8螺钉受到旋转力A=（P，Q，R）作用，P，Q，R分别是旋转力A在x，y，z三个坐标轴方向上的旋转分力，旋转力A的作用效果等效于绕着三个坐标轴方向上的旋转分量作用效果，绕x轴旋转分量为绕x轴顺时

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学[M].第7版.北京：高等教育出版社，2014，7.

[2]Dale Varberg.微积分[M].第9版.刘深泉，张万芹，张同斌，杜保建，译.北京：机械工业出版社，2015.1.

[3]潘克家，吕骏.线面积分三公式的联系与教学[J].高等数学研究.2014，7.