船舶结构B样条小波无网格分析技术

陈建平，唐文勇，徐曼平

(1.上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院，上海200240;2.广州航海学院船舶工程学院，广东广州510725)



船舶结构B样条小波无网格分析技术

陈建平1，2，唐文勇1，徐曼平2

(1.上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院，上海200240;2.广州航海学院船舶工程学院，广东广州510725)

摘要:为了解决船舶平直结构场量高梯度自适应分析问题，提出了基于B样条小波的无网格局部Petrov－Galerkin法。首先运用最小二乘法和加权余量法来求解结构位移场量的逼近函数，并给出了问题的控制方程和刚度方程。然后在局部无网格Petrov－Galerkin法的基础上，利用m阶B样条函数作为小波基函数来构造船舶结构位移场的逼近函数，并采用两尺度分解技术来分解应力场的高梯度成分和低尺度成分，应用高尺度成分来表示应力高梯度成分。最后选取了两种典型船舶结构进行变形和应力分析，并通过与有限元法的计算结果进行比较，验证了本文提出方法的有效性。

关键词:船舶结构分析;逼近函数;移动最小二乘法;B样条小波;尺度函数;无网格MLPG法

当前船舶结构分析最常用也是最为有效的计算工具之一就是有限元方法［1］。但有限元法因其自身的特点，在处理分析船舶结构场量(位移场和应力场等)变化剧烈的高梯度区域时，会出现计算精度降低甚至计算中断现象，为了解决这个问题，有限元法通常采用的方法就是对该区域的网格进行加密(细分)或者采用高阶单元，这样就要求方法具有较强的自适应分析能力，其结果就加大了有限元法前后处理的工作量，从而降低了计算效率，事实上这种方法也并不能从根本上消除问题产生的根源。作为与有限元法相对应的另一种数值分析方法——无网格法，在近20年中得到了很大的发展［2－6］。无网格法是建立在系列独立的离散点的基础上，通过构造点的近似函数来求解问题。与传统的有限元法相比，无网格法无需网格背景，在计算过程中可以根据需要任意增减节点，而不需要处理节点之间的拓扑信息，特别适合用来进行自适应分析计算。无网格法目前在航空材料、高速碰撞、动态裂纹扩展、加工成型、节理岩体分析等诸多领域都得到了较为广泛的应用［7－10］。无网格法的计算精度同有限元法一样因其自身的特点，受节点密度、基函数的选用及其阶次以及支撑域半径大小等因素的影响［11－12］。文章用局部无网格Petrov－Galerkin法为基础，利用m阶B样条函数作为小波基函数来构造对船舶结构应力场的逼近函数，并采用两尺度分解技术来分解应力场的高梯度成分和低尺度成分。文章最后选取了两种典型船舶结构进行变形和应力分析，并与有限元法(ANSYS软件)的计算结果进行了比较来验证文章方法的有效性。

1　船舶结构MLPG法基本表达

由于船体板的板厚远小于其另外两个方向(长度和宽度)的几何尺寸，在分析其受力时，可以运用Kirchhoff－Love板壳理论和Mindlin－Reissner板壳理论。文章基于板壳的Mindlin－Reissner基本理论，运用局部无网格Petrov－Galerkin法(MLPG)来分析研究无网格法下的船舶板结构应力。

1.1节点控制方程

板结构经离散后二维弹性理论为基础的节点系统方程［11］:

利用加权余量法［12］，可以得到节点I处系统方程的微分方程强形式为

对节点I依式(2)在其积分域上进行积分，可以建立起它的系统方程。这样对每一个节点都采用式(2)在其积分域上积分，可以得到所有离散节点的系统方程，将这些离散节点的系统方程组装起来就能够获得问题域的整体系统方程。

利用移动最小二乘法(MLS)得到节点积分点支撑域内的形函数，从而获得问题域的位移逼近函数:

式中:ΦT(X)为根据MLS所得的形函数矩阵，uI为离散节点I的节点值，N为积分点的支撑域Ωs中的节点数。

根据弹性力学应力－应变关系有

式中:D为材料弹性矩阵，B为几何矩阵，且

式中:ΓQt为积分域ΩQ和自然边界的重合部分，N为自然边界上的单位外法向矢量矩阵。

1.2刚度方程

把节点系统方程式(3)和式(4)代入节点控制方程式(5)，可以得到

式(6)可以简记为矩阵形式:

其中

这样由每个离散节点的控制方程总装成整个结构系统的控制方程表达为

由于在MLS中，采用的节点支撑域都是紧支的，系统的总体刚度矩阵K是带状稀疏矩阵，可以减少计算工作量。根据文献［13］对有限元法中罚因子的分析，建议罚因子α 105～12×E在范围内取值，E为杨氏弹性模量。

2　B样条小波基

在MLPG法中，运用最小二乘法(MLS)是求解位移场逼近函数的关键，从节点控制方程的推导过程来看，权函数的选定及其参数的确定对于计算的精度和结果的收敛至关重要。在无网格法中，一般要求权函数为紧支函数，在求解域内具有连续可导、单调递减和正态紧支等特性［14］。由于小波函数具有在不同分辨率水平上表达函数的变尺度能力，而其相应的基函数(小波基)则在具有震荡性、衰减性的同时还具有紧支性或近似紧支性［15－16］;另一方面B样条函数具有分段光滑、局部可微和线性组合等特征［17］，所以B样条小波函数的时频局部特性最接近无网格法中常用作权函数的Gauss函数，并且它的紧支性优于Gauss函数，这样保证了在计算处理过程中的相位失真。所以本文将利用小波函数和B样条函数的各自优点，来构造小波基函数，并以此构造出来的B样条小波基函数作为MLS法中的权函数。

依据式(9)的节点序列可以进一步构造在[0，1 ]区间内的m阶局部支撑嵌套的j尺度逼近空间V，其基函数则可以表达为

式中:Nm(x)为基数样条函数。

局部域内的小波紧支撑空间表示为

文章选用三次B样条小波函数，即m=3。三次B样条小波函数的基本表达式为［17］

3　本质边界条件

因无网格法形函数ΦT(X)不满足克罗内克条件，对于刚度方程式(7)中的节点I的参数u并非其真实位移，所以本质边界条件不能够像有限元法那样直接施加。Chen J S等提出了全转换法(Full transformation method)［19］来处理其边界条件。本文按照全转换法的原理对刚度方程(控制方程)进行修正，得到

这样就可以得到节点的真实位移u－，然后可以直接施加本质边界条件。

4　算例

为了验证文章方法的正确性，本节给出船舶结构中“船体梁”和“开孔板”两种典型结构的计算分析。本文算例中材料的杨氏弹性模量为E=2.1× 105MPa，泊松比μ=0.3。

4.1船体梁

梁结构是船体基本结构之一。图1为一端固支、一端自由的船体简化梁结构。均布载荷p=10 N/m。

图1　受均布载荷的船体梁Fig.1 Typical beam structure under uniform pressure

图2(a)是根据本文无网格算法经过4步自适应生成的离散节点图。初始离散为90个均布节点，积分背景网格为351个，经过4步自适应分析后，节点数为387个，背景网格为1 210个。图2(b)为ANSYS生成的有限元网格单元。

图2　无网格法与FEM节点与网格图Fig.2 Arrangement of the node with Mesh-free and FEM

采用本文无网格方法，计算出算例梁的应力云图，如图3(a)所示。通过与图3(b)比较，应力集中区域表现都是一致的。

图3　无网格法与FEM计算应力云图Fig.3 The Mises-stress map with MLPG and FEM

图4和图5给出了在小波基尺度scale=2.5下按照本文无网格法和有限元ANSYS计算结果和解析解比较曲线(图中FEM为有限元法解，ANS为解析解，MLPG为文章算法解，后面图例一致)。为了简单起见，仅对比板Y方向中线截面上正应力分布情况和板X方向中线截面上位移变化图。从图可以得出:1)FEM法和MLPG法的计算相对误差范数都在5％以下;2)文章提出的方法比FEM方法更接近解析解。可见本文方法具有很高的计算精度。

图4　板X方向中线截面上位移变化比较图Fig.4　Total deformation of the middle section along the X-direction

表1为在小波基不同尺度下的计算误差值表(图中Lu为位移相对误差范数，Lσ为应力相对误差范数，后面相同)，根据表1可以绘制误差曲线图为图6所示。从表1和图6的变化趋势可以得出结论:1)计算精度受尺度变化影响，也就是支撑域的大小影响到计算精度;2)进一步提高文章方法的精度在于确定恰当的小波基尺度，可以由尺度三次B样条函数的尺度函数来调节。

图5　板X方向中线截面上正应力变化图Fig.5 Mises-stress of the middle section along the X-direction

表1　三次B样条基函数MLPG法尺度－相对误差范数表Table 1 The relative error norm with B-spline wavelet ％

图6　不同尺度下相对误差范数变化曲线图Fig.6 The relative error norm with 3-order B-spline wavelet

4.2开孔板

图7为简化为两端自由、另两端承受均匀拉力的平直船体板，板中间开有圆孔。此类型结构在船舶结构上也非常普遍，板侧均布拉力q=1 MPa。

图8(a)是根据本文无网格算法经过四步自适应生成的离散节点图。初始离散为749个均布节点，积分背景网格为1 390个，经过四步自适应分析后，节点数为1 323个，背景网格为2 515个。图8(b)为ANSYS生成的有限元网格单元。

图7　中间开孔平直板示意图Fig.7 Flat plate with a circular opening hole

图8　无网格法与FEM节点与网格图Fig.8 Arrangement of the node with Mesh-free and FEM

采用本文无网格方法，计算出算例板的应力云图，如图9(a)所示。通过与有限元软件ANSYS计算的应力云图图9(b)所示比较，应力分布表现都是一致的。

图9　无网格法与FEM计算应力云图Fig.9 The Mises-stress map with MLPG and FEM

进一步比较本文无网格法与有限元ANSYS计算的结果的相似程度。为了简单起见，仅对比板Y方向中线截面上正应力分布情况和板X方向中线截面上位移变化图。结果如图10和图11所示。FEM法的位移相对误差范数最大为2.5％、应力误差范数最大为2.4％，而文章方法的位移相对误差范数为0.3％、应力误差范数最大为0.28％，可见文章方法的计算精度具有明显的优势。

为了进一步了解文章方法的正确性，下面给出在尺度为2.1沿板中线X方向节点使用FEM法和文章方法计算的位移相对误差范数变化图，如图12所示。由图和前面的分析可以得出结论:1)文章方法具有很好的计算精度;2)尺度选定对文章算法有很大的影响，不同尺度下的计算精度有很大差别(如算例1中图6所示规律)。

图10　板Y方向中线截面上正应力变化图Fig.10 Mises-stress of the middle section along the Y-direction

图11　板X方向中线截面上位移变化图Fig.11 Total deformation of the middle section along the X-direction

图12　尺度2.1下的位移相对误差范数变化曲线图Fig.12 The relative error norm with 3-order B-spline wavelet and Gauss weight function

5　结论

文章提出的基于小波基的船舶结构无网格分析技术由于拥有较好的自适应性，在计算精度上比传统的有限元法具有优势。采用有限元法(ANSYS)和提出的方法对船体梁和开孔板进行进行实例计算，并对计算结果进行比较和分析，可以得出结论:

1)文章方法具有很好的计算精度;

2)尺度选定对文章算法有很大的影响，不同尺度下的计算精度有很大差别;

3)当3阶B样条小波函数作为权函数，结果权重函数比高斯权函数更好;

4)文章所提出的方法可以在小支撑域的情况下，达到良好的精度，即它可以实现更高的拟合。

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Meshless analysis method of ship structures based on a B-spline wavelet

CHEN Jianping1，2，TANG Wenyong1，XU Manping2
(1.School of Naval Architecture，Ocean＆Civil Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China;2.School of Ship Engineering，Guangzhou Maritime Institute，Guangzhou 510725，China)

Abstract:To solve the problem of the high gradient adaptive analysis of the ship straight structure，a meshless local Petrov－Galerkin method based on a B－spline wavelet was proposed.The approximation function of the structural displacement field quantity was solved by employing the least squares method and the weighted residual method，and the governing equation and stiffness equation were established.Based on the meshless local Petrov－Galerkin method，an m－order B－spline function was used as the wavelet basis function to construct the approximation function of the ship structure displacement field，and a two－scale decomposition technology was used to decompose the high gradient component and the low scale component in the stress field.The high scale component was used to express the high gradient component in the stress field.Numerical examples show the solutions are good agreement between FEM－ANSYS and the proposed method，which verifies the validity of the presented method for analysis of the ship structures.

Keywords:ship structure analysis;approximation function;moving least square method;B－spline wavelet;scaling function;meshless local meshless patrov－galerkinmethod

通信作者:陈建平，E－mail:wchchenjp@ sina.com.

作者简介:陈建平(1973－)，男，副教授，博士.

基金项目:国家自然科学基金重点资助项目(51239007);中国博士后基金资助项目(2015M581622);广东省自然科学基金资助项目(2014A030313792).

收稿日期:2014－09－05.网络出版时间:2015－12－21.

中图分类号:U661.42

文献标志码:A

文章编号:1006－7043(2016)01－0013－06

doi:10.11990/jheu.201409018

网络出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20151221.1613.044.html