从数学知识到数学思想的实现途径——以“集合”知识的教学为例

江苏省海门实验学校 陈丽华

从数学知识到数学思想的实现途径
——以“集合”知识的教学为例

江苏省海门实验学校 陈丽华

高中数学教学中，要从理论与实践两个角度同时重视数学思想。数学思想需要依靠数学知识而存在，在数学知识构建与利用数学知识去解题的过程中，可以寻找渗透数学思想的契机。作为数学教师，自身需要认清数学知识与数学思想的关系，然后在教学实践中引导学生实现知识向思想的转化。建立以数学思想为主线的教学，可以促进学生解题能力的提升，可以培养学生的核心素养。

高中数学；数学知识；数学思想；实现途径

高中数学教学中，数学思想已经越来越受到重视，目前已经形成的一个定论是：数学思想不是空泛的，数学思想是依赖着具体的数学知识而存在的。于是在数学知识与数学思想之间就存在一个依存关系，数学教学中，数学教师的一个重要任务，就是将这种依存关系准确地呈现给学生，这种呈现过程就是经由数学知识的学习生成数学思想的过程。显然，这个过程越科学，学生就能越自然地从数学知识学习中感受到数学思想。本文试以“集合”知识的教学为例，谈谈实践中的一些浅见。

一、数学知识与数学思想的关系分析

数学知识与数学思想的关系看起来并不复杂，最常见的隐喻就是将数学知识比作一个人的躯体，而数学思想则是一个人的灵魂。但在实际教学中，这种关系要想清晰地呈现出来却并不容易，因为从教师对数学知识与数学思想的关系的分析，到具体的教学实践，都需要做过细的工作。

“集合”是高中数学的基本内容，但基本却并不意味着简单，且不说集合本身作为异于学生已有数学知识的内容，已经表现出一种复杂性；就是从数学思想的角度来看，其所包含的思想也是丰富的。有人说，数学中引入集合语言之后，现代数学就有了最基本的语言，这一点并不夸张，因为后面相当一部分知识其实都或明或暗地建立在集合的基础之上的，最明显的可能就是函数知识了。因此，对于集合的教学，不仅需要认识其知识本义，还要借助其去理解数学思想，从而在高中数学的入门之时，奠定坚实的数学思想基础。

简单地罗列了一下，集合知识的学习中可能会遇到这样的一些数学思想：一是分类讨论的思想。这是数学中的基本思想，集合知识的教学中，需要分类讨论的情况非常多，同行们一般比较熟悉，这里不赘述；二是化归思想。在义务教育阶段的数学教学中，化归思想的体现一般不够显性，学生的认知也处于非常隐蔽的状态。而到了高中，化归思想已经成为学生建立知识之间的逻辑关系认识，以及与数学问题解决相关的最常见的思想之一，一个数学问题的已知条件与所求之间，就是要以化归为逻辑主线。集合知识中简单如求A={1，2，3，4}的子集，就需要用到化归思想；三是转化思想。转化思想是将复杂问题简单化的重要思路，而这就需要学生拥有这种转化能力。集合知识中这样的问题也很常见，如已知一个非空集合A⊆{1，2，3，4，5，6}，且当a∈A时，总有（6-a）∈A，求满足这样的条件的集合A的个数。这个问题的解决显然难以直接进行，需要的是学生通过转化的思路，将其转换成简单问题。本题最简单的方法是通过特殊赋值的方法，发现集合中的元素成对出现的特征，然后即可比较顺利地求解。

当然，除了上述三种思想之外，集合知识的教学中还有求异求同思想、对应思想等，限于篇幅，不一一赘述。

二、数学知识到数学思想的教学实践

对于教师而言，最需要研究的就是在实践中如何有效地实现数学知识向数学思想的过渡。这里，笔者想基于教学实践谈谈一些个人的浅见。

第一，数学思想存在于具体的数学知识教学之后。在集合知识的教学中，考虑到其是学生进入高中后学的第一个基础性的知识，因此首先还是应当立足于集合及其他相关概念的构建，在学生建立了基本的集合知识认识之后，在学生利用集合知识解决一些基本问题的时候，就可能让数学思想逐步呈现出来。比如说让学生解决一个简单的问题，如已知-2∈{x，x+2，x2}，要求x的值，如果纯粹地只满足于求得x的值，那本题的教学价值就得不到充分的体现。而如果挖掘其数学思想的含量，就要从分类解决此问题的基本思路中发现之所以要分类，是由于集合中的元素具有确定性与无序性的双重特征，因而只有通过分类讨论才能最终解决问题。因此就可以让学生发现分类思想在集合知识中的运用环境，这就是分类思想教学的一个契机。

第二，数学思想是数学知识教学之外的另一条主线。高中数学教学中关注数学思想，一个重要方面就是将数学思想的重要性看得与数学知识的构建，以及与解题能力的提升一样重要，这个观点坦率地说，是说起来容易做起来困难。因为数学思想要成为主线，意味着教师在教学中需要花出更多的精力去分析数学知识中存在哪些思想，哪些思想又存在教学的可能。如集合知识的教学中，一个挑战就是集合知识本身对于学生来说已经有了一定的难度，那么还有没有余力，有没有必要去实现其思想教学。除了像上面第一点中提到的简单例子之外，其他场合又如何实现数学思想的渗透呢？笔者以为化解这个问题的关键在于认清数学思想的价值，这个价值既包括解题能力提升的价值（现实需要性），也包括学生数学素养提升的价值（成长需要性）。而建立在此基础上的数学思想教学契机就更容易被发现，其实，集合概念本身的构建就有一个重要的数学思想——概括。数学中的概括有多重要，相信不要笔者多言。

三、用数学思想引领数学知识的教学

应当说，在高中数学教学中，将数学思想提升到一个高的层次，并不完全是为了呼应课程改革的相关理念——课程改革行走至今，可以说是赞扬与批评之声并存，作为国家教学意志，面临这样的情况，让一线教师很是无所适从。但笔者认定的一点是，一个理念如果从理论上来说是正确的，从现实来说是需要的，那这样的理论无论怎样批评，都是需要坚持的，而数学思想就是其中之一。

在高中阶段的教学中坚持数学思想，意味着在学生中学阶段的最后一段时光，意味着在固基的最后一个环节，可以让学生接受最理性学科的最重要的思想教育，这显然是学生成长的需要。学生到了生活当中，可能不会具体用到集合等概念，但一定会用到其中的分类思想，一定会用到转化思想，这就是数学思想的迁移价值，而所谓数学核心素养，也可以进行这样的通俗解读。

总之，在高中数学教学中需要重视数学思想的价值，这种重视不能只是口头上的重视，一定要是实践中的重视。

[1]陈鸾.如何在高中数学教学中渗透数学思想和数学方法[J].课程教育研究.2016（11）：137-138.

[2]高兴亮.渗透数学思想方法在高中数学函数教学中的应用[J].数学学习与研究.2016（11）.