层状介质中瑞利波频散方程的解法综述

吕政权

（郑州新郑综合保税区（郑州航空港区）兴港投资发展有限公司 郑州 450019）

层状介质中瑞利波频散方程的解法综述

吕政权

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近来，求解层状介质中瑞利波的频散方程得到了一定的进展。据此，简要地总结了求解瑞利波频散方程的发展及其存在的问题，并对各算法进行了评价。

0 引言

瑞利波法是一种新兴的地球物理勘探方法，其涉及的问题大致归结为三个方面：数据的采集和处理、正演理论、数据的解释及反演。对于层状介质，其相应的问题是：频散曲线的提取、频散曲线的正演理论和频散曲线的解释及反演。其中，频散曲线的正演理论的关键在于求解层状介质中瑞利波的频散方程。所谓频散，是指在均质、各向同性弹性定半空间中，瑞利波波速和频率无关，而在层状介质中，瑞利波波速将随频率的不同而产生多个不同的波速。求解频散方程，将涉及到数值稳定和计算速度问题。近几十年来，数值计算方法得到了极大的发展，并在各个领域得到了广泛的应用。面对经典的频散方程的解法中存在的高频数值溢出和精度损失问题，国内外学者做出了卓有成效的研究。

目前，求解瑞利波频散方程的解法主要有：(1) 传递矩阵法及其改进的解析法；(2) 有限元法。

1 传递矩阵法及其改进的解析法

瑞利波频散方程的经典解法是Thomson-Haskell传递矩阵法。Thomson (1950)[1]首次利用传递矩阵法建立了瑞利波的频散方程，由于在推导过程中引入了介质层之间位移不连续的假设，他得到结果是不正确的。Haskell(1953) [2]修正了Thomson的结果，得到了正确的瑞利波频散方程。由于在直接求解Thomson Haskell频散方程时，存在严重的高频有效数字损失，得到的结果将严重失真。为了解决这个问题，国内外学者运用数值计算方法，提出了相应的改进算法。

Knopoff(1964)[3]的方法属一种类型。Knopoff不从Thomson Haskell的方程出发，而直接用行列式构造频散方程，然后将这些行列式分解为子行列式的乘积，从而达到了避免高频有效数字损失的目的。此后，Schwab & Knopoff (1970)[4]建立了完整的求解算法，称为Schwab-Knopoff法，但此方法过于复杂，不利于广泛应用。

Dunkin(1965)[5]和Watson(1970)[6]的方法属δ矩阵法。Dunkin(1965)首次用δ矩阵代替Thomson-Haskell传递矩阵的算法，从而消除了方程中的指数函数平方项，克服了高频有效数字损失。Watson(1970)在求解频散方程时，将δ矩阵进行了简化，减少了一定的计算量。凡友华(2001)[7]提出了无量纲实数传递矩阵算法，解决了高频数值溢出及精度损失问题。

Abo-Zena(1979)[8]通过一系列4阶反对称矩阵的循环计算得到了频散方程，该法除避免了高频有效数字损失外，还比以前的算法计算效率高。陈云敏(1989)[9]重新组织了Abo-Zena算法，将该法和δ矩阵法结合起来，提出了一种既能克服高频有效数字损失，又具有快速运算功能的改进的解析法。但陈云敏(1992)[10]指出：对于软夹层和硬夹层等特殊土层，改进的解析法依然效果不好。吕政权(2013)[11]运用陈云敏(1989)的算法，在频率-波数域(f-k域)内应用Bisection算法搜索频散方程的根，修正了改进的解析法不能有效计算软夹层或硬夹层介质的说法。

2 有限元法

Kausel & Roesset(1981)[12]提出的动力刚度矩阵法属有限元法。夏唐代(1992)[13]在研究了解析法和有限元法的基础上，将半无限层采用解析法，成层介质采用有限元法，两者结合推导了有限元-解析法，但存在效率的问题，且只能得到有限阶模态的频散曲线。吕政权(2014)[14]运用夏唐代(1992)的算法，在频率-波数域(f-k域)内运用Bisection算法搜索瑞利波频散方程的根，该方法能快速、有效地求解层状介质中的瑞利波频散方程。

3 结语

为了验证上述解法的准确性、正确性和稳定性，我们分别编制了三类算法的计算机程序：凡友华(2001)的快速矢量算法、吕政权(2013)的改进的解析法、吕政权(2014)的有限元-解析法，并分别作了考题计算。结果表明：以上三种算法均能有效求解层状介质中瑞利波的频散方程。快速矢量算法和改进的解析法在计算速度上明显优于有限元-解析法，是目前较为快速的算法。但有限元-解析法能够解决更为复杂的层状介质中的瑞利波频散特性。

[1] Thomson W T. Transmission of elastic waves through a stratified solid medium[J]. Journal of Applied Physics, 1950, 21(2): 89-93.

[2] Haskell N A. The dispersion of surface wave on multilayered media[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 1953, 43(1): 17-34.

[3] Knopoff L. A matrix method for elastic wave problems[J]. Bulletin of the Seismological society of America, 1964, 54(1): 431-438.

[4] Schwab F, Knopoff L. Surface-wave dispersion computations[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 1970, 60(2): 321-344.

[5] Dunkin J W. Computation of modal solution in layered elastic media at high frequencies[J]. Bulletin of the Seismological society of America, 1965, 55(2): 335-358.

[6] Waston H T. A note on fast computation of Rayleigh wave dispersion in the multilayered elastic half-space[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 1970, 60(1): 161-166.

[7] 凡友华. 层状介质中瑞利面波频散曲线的正反演研究[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2001.

[8] Abo-Zena. Dispersion function computations for unlimited of frequency values[J]. Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 1979, 58(1): 91-105.

[9] 陈云敏. 成层土中的瑞利波及其谱分析测试技术[D]. 杭州: 浙江大学, 1989.

[10] 陈云敏, 吴世明. 成层地基的Rayleigh波特征方程的解法[J]. 浙江大学学报(自然科学版), 1991, 25(1): 40-52.

[11] 吕政权, 任青, 邹宇等. 层状地基中Rayleigh波频散方程的改进的解析法[J]. 水资源与水工程学报, 2013, 25(6): 47-50.

[12] Kausel E, Roesset J M. Stiffness matrices for Layered Soils[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 1981, 71(6): 1743-1761.

[13] 夏唐代. 地基中表面波特性及其应用[D]. 杭州: 浙江大学, 1992.

[14] 吕政权, 任青, 邹宇等. 层状地基中Rayleigh波频散方程的改进的解析法[J]. 水资源与水工程学报, 2013, 25(6): 47-50.

吕政权(1983-)，男，河南南阳人，工学硕士，主要从事土-结构共同作用、建设项目管理研究。

G322

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1007-6344（2016）03-0264-01

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