换元法中蕴含的辩证法思想



换元法中蕴含的辩证法思想

江苏省淮安市清河中学(223001)桂弢

在解题过程中，有时需要根据实际情况引进新的变量以化简原有的复杂式子，使问题的本质能清晰地显现出来，这种解题方法，我们称之为换元法. 换元法的理论依据是等量代换，它是借用一种语言符号来表达同一个问题. 换元法的本质是转化，通过换元，将问题转化为我们比较熟悉的形式，它体现了思维的灵活性和创造性. 换元法的一般步骤为: 设元、换元、求解、回代和检验等. 需要注意的是，在换元的同时应该确定好新变量的取值范围，否则有可能前功尽弃.

由于数学题目千变万化，因此换元的方法也是多种多样的，仔细分析这些方法，不难发现，换元法其实就是解题过程中的一种处理技巧，一种变换手段，但它又处处闪烁着哲学的光芒，蕴含着辩证法的智慧. 对立统一规律认为事物是由矛盾构成的，矛盾是反映事物内部或事物之间的对立和统一及其关系的基本哲学范畴，矛盾是事物发展的动力. 矛盾的同一性认为矛盾着的对立面之间是互相依赖的，一方的存在和发展必须以另一方的存在和发展为条件(联系)；矛盾着的对立面之间又是互相贯通的，存在着由此达彼的桥梁(转化). 在进行换元法教学时，教师不能只是方法的简单罗列或就题讲题，而应该指导学生用联系的观点和发展的观点辩证地看问题，灵活地运用.

1局部换元与整体换元

局部中有整体，整体中有局部，局部与整体是矛盾对立的两个方面，它们在一定条件下互相依存，在一定条件下又互相转化.

若t>1，则a≤2(t+1)2，要该不等式对一切大于1的实数t恒成立，须a≤8； 若t=1，则对所有正数a，不等式恒成立.故a的最大值为8.

说明：将式子中的某一项用一个变量去替换，最终把问题转移到新的背景中去研究，这就是局部换元. 一般情况下，我们会将根式问题转化为非根式问题或通过数形结合来处理.

例2若关于x的不等式m(ex+e-x-1)≤e-x-1(其中e是自然对数的底数)在(0，+∞)上恒成立，求实数m的取值范围.(2014年江苏高考试题改编)

2几何换元与代数换元

几何换元关注形，代数换元关注数，二者是相辅相成的，各有特点，不可偏废.

说明:将新变量 看成直线的斜率，正是发挥了形的直观性和生动性.

说明:这里的换元就是代数换元，它注重理性推理，突出逻辑思维.

3减元换元与增元换元

在平时的解题教学中，不少教师对用减元思想来解题强调的比较多，这容易使学生产生思维定势. 其实，减与不减，需要辩证地看待，需要具体问题具体分析,不能盲目和教条.

说明:利用减元思想将二元不等式转化为一元不等式，使问题容易求解.

解析:方程中出现了两个根式，直接求解较困难，可以尝试用新变量替换方程中的根式.

说明:用两个变量分别替换两个根式后，将方程转化为方程组，看似复杂了，其实是变简单了. 可以说，有时退是为了更好地进.

说明:为了使分式便于拆凑，本题采用了二元换二元，没有增元，也没有减元.

4正向换元与逆向换元

如果原变量x能直接表示为新变量s的函数，即x=f(s)，则把这种换元方法称为正向换元；如果新变量s能直接表示为原变量x的函数，即s=g(x)，则把这种换元方法称为逆向换元. 正向换元与逆向换元其实是一个互逆的过程，在一定条件下它们是可以相互转化的.

例8已知a、b为非负实数，M=a4+b4，a+b=1，求M的最值.

说明:本题的换元方法通常称为公差换元，它属于正向换元. 如果问题的条件或结论属于对称式，那么可以考虑公差换元. 当然，本题也可以用三角换元来求解.

说明:本题中的第一次三角换元属于正向换元，而第二次的代数换元则属于逆向换元.

上面给出的换元法的四种辩证关系，其实也是换元法的四种分类方法. 从哲学的视角去认识换元法，是我们的一种尝试，希望能对大家的教学和实践有所帮助.