浅谈二重积分下的分部积分法的应用

徐森

【摘 要】本文通过分析一元函数和多元函数微积分中对于变量的含义，讨论了多元函数环境下，分部积分法的应用思路。通过一道二重积分的计算题目，分析了积分变量的确定与认识对于积分计算的意义。

【关键词】二重积分；分部积分法；积分变量

分部积分法是计算积分的有效方法，但无论是在教学环节还是学生的学习环节，都主要强调了一元函数微积分下的应用，在多元函数环境下，则讨论的较少。本文以一道研究生入学考试试题为例，讨论在多元函数微积分下的分部积分法的应用。

分部积分法的理论基础在于微积分之间的互逆关系进行“凑微分”，即利用微分式v'（x）dx=dv（x），进行分部积分运算，∫uv'dx=∫udv=uv-∫vdu=

uv-∫vu'dx[1]。在一元函数环境下，由于只有一个变量x，学生在学习过程中对于积分变量的认识不够，往往忽视了“对谁求导”、“对谁积分”的问题。但在多元函数环境下，变量选择的问题就凸显了出来。实际上，在多元函数微积分中，微积分之间的“互逆关系”依然存在，关键是认清楚“对谁求导”、“对谁积分”的问题，保证导数和积分所对应的变量是一致的即可[2]。

本道考题较好的反映了分部积分法在二重积分中的应用。在教学过程中，应着重强调积分中积分变量的含义，认清楚积分变量对于积分计算至关重要，通过训练可以更加开阔学生对分部积分法和多元函数微积分的认识。

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2004：114-157.

[2]孙卫卫，杜美华.巧用分部积分法求解二重积分[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2014（4）：1-2.

[责任编辑：王楠]