机械专业分析力学的教学内容和授课方法探讨

郭空明　朱应敏　王芳林

摘要：分析力学由于其理论性强，数学背景浓厚，不但许多工科专业需要开设，物理、数学等理科专业也需要开设。由于分析力学内容非常广泛，不同专业开设此门课程的教学内容必然有不同的侧重点，授课方式也应有所区别。本文针对机械专业分析力学课程存在的问题，对其教学改革进行了研究，主要探讨了如何根据专业特点选取合理的教学内容，以及如何更好地在课堂环节上讲授这些内容。

关键词：机械专业；分析力学；教学内容；授课方法

中图分类号：O342 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）11-0174-02

一、分析力学课程特点和内容

分析力学是经典力学的一个分支，其严格定义目前尚未有一致性结论[1]。一般认为分析力学是以广义坐标为手段，虚位移原理和动力学普遍方程为理论基础，运用数学分析的方法研究力学问题的一门学科[2]。1788年，拉格朗日重要著作《Mécanique Analytique》的出版，标志着分析力学的初步形成。之后在各国学者的推动下，分析力学取得了长足的发展，并且有了更丰富的内涵和外延。

分析力学学科具有以下特点：（1）以标量的“能量”以及广义坐标、广义力为中心；（2）不考虑理想约束力，因此比起牛顿力学，更适于处理约束系统；（3）高度数学化，有理论深度；（4）应用广泛，已超出经典力学范畴。

分析力学学科包含如下内容：拉格朗日力学、哈密顿力学、动力学变分原理、微振动理论、刚体动力学、天体力学、稳定性理论、Noether定理、Birkhoff系统、几何力学等。其中，传统工科分析力学的授课内容一般为前三部分，而理科分析力学的内容要更为广泛一些。

二、机械专业分析力学课程存在的问题

对于机械专业来讲，其研究对象为受约束的机构，研究内容为机械振动和机构动力学等。对于机械振动，分析力学可使其建模方法更加规范化；对于机构动力学，由于其存在大量的约束，采用分析力学方法建模更加便捷。因此，机械专业分析力学课程的开展是非常必要的。

目前对于机械专业的分析力学课程，还存在一些值得探讨的问题。首先，这门课程一般只作为选修课，课时有限，授课时必须有所取舍和侧重；其次，工科学生的数学基础相对理科学生略显薄弱，但课程中存在一些数学背景深厚的概念，因此需要在课程的严谨性和易懂性之间取得一定的平衡；最后，分析力学即使在力学课程中也是一门基础学科，因此在授课时应注意将其知识与其他力学课程中的知识串联在一起，而不是孤立地讲授。

下文针对这些问题，讨论了机械专业分析力学课程内容的设置，并阐述了笔者在讲解一些重要内容和知识点时相比传统的授课方法进行的具体改进。

三、机械专业分析力学课程的内容设置和讲授方法

上文提到，机械专业分析力学的应用领域主要在结构和机构动力学，因此，课程的设置应偏重于拉格朗日力学，尤其是第二类拉格朗日方程。

（一）第一章 绪论

讲述近代力学发展史、分析力学的大致定义、分析力学的特点。在近代力学发展史讲授中，要突出分析力学尤其是拉格朗日力学的地位，提高学生对课程的重视性。讲述分析力学特点时，要明确指出其最大特点是适合处理约束系统，以区别理论力学所学的知识。

（二）第二章 分析运动学

这部分属于基础知识，授课内容灵活性不大，讲授内容包括：约束、等时变分、虚位移和自由度、广义坐标、运动学问题的分析法。

对于第一部分约束，笔者相比其他一些传统教材，加入了判断微分约束是否可积的方法。因为学生在接触到微分约束不一定是非完整约束这个结论的时候，很自然地会产生一个问题：究竟哪些微分约束才是可积的？该部分的内容填补了这个空白。

第二部分内容等时变分实际上在这里讲授显得较早，但是该部分内容作为基础，可以使得下一部分内容虚位移中变分符号的出现不显得太过突兀。另外通过学习变分的运算法则，学生才能够从坐标的约束方程得到各虚位移之间的约束方程。

第三部分内容与传统授课相比，笔者主要针对自由度这个概念将学生所学知识横向比较。对于自由度的概念，学生在许多课程中都有学习，但不同课程由于研究对象不同，对其定义也会有所偏差。例如，振动力学由于不涉及非完整约束，就可以把自由度定义为描述系统位形的最少坐标数。另外还要对学生强调，自由度数与所研究的问题侧重点有关，例如四连杆机构有一个自由度，但如果考虑连杆的弹性振动，则有无限个自由度。

第五部分内容运动学问题的分析法是大部分传统教材所没有的，内容主要参考了教材[3]。通过学习这部分内容可以基于坐标之间的关系得到速度之间的关系，避免了采用理论力学的基点法。这样一来，即使学生理论力学基础较差，也不会太过影响这门课程的学习。

（三）第三章分析静力学

这部分内容设置灵活性同样不大，讲授内容包括：广义力、虚位移原理、拉格朗日-狄里克雷定理。

第二部分虚位移原理的使用范围本应是“理想约束、双面约束、实位移是虚位移中的一个”。但是学生对于“实位移是虚位移中的一个”这个表述一般不易理解。因此可以放宽为“理想约束、双面约束、定常约束”，这样并不影响学生应用该原理。对于例题的设置，可以选用一些材料力学和结构力学求解梁支座约束力的题目，以体现分析力学的基础性。

第三部分拉格朗日-狄里克雷定理是虚位移原理在保守系统中的具体应用。对于平衡稳定性的概念，可以引入材料力学的压杆稳定性和流体力学中绕流物体的稳定性进行类比，使学生认识到这是一个具有普遍意义的概念。

（四）第四章分析动力学

传统分析动力学需要讲授哈密顿正则方程及相关概念，但是哈密顿正则方程主要优势在于研究物理领域，对于机械振动和机构动力学，正则方程用处较小。而正则方程延伸出的诸多概念如正则变换、泊松括号等，学生学习起来太过抽象。因此笔者认为机械专业可以不讲授哈密顿正则方程相关内容。因此这一章的讲授内容包括：动力学普遍方程、第二类拉格朗日方程、动能的结构、微振动、初次积分、第一类拉格朗日方程、Routh方程。

本章第二部分第二类拉格朗日方程是分析力学课程最重要的内容。第二类拉格朗日方程的推导过程较为烦琐，学生会感到枯燥，但仍然不可或缺。因为这部分公式的推导为接下来的内容如动能的结构、初次积分等打下了基础，同时对学生的逻辑思维能力也是一个提升。在例题方面，笔者建议设置一些电路系统和机电耦合系统，这样可以使学生意识到该方程的普适性。另外，学生在学习这部分内容时，常犯的一类错误就是眼高手低，尤其是求导、正负号等很容易出错。因此一定要让学生独立完成一定量的课堂练习。

第三部分内容动能的结构虽然略显抽象，但考虑到旋转机械动力学是机械领域的一个重要研究方向，仍然有必要进行讲授。这部分内容也为第四和第五部分内容打下了基础。

第四部分内容微振动主要讲授如何得到非线性振动的线性化方程。笔者发现在许多工科的振动力学教材中，虽然都提到了把动能写成速度的二次型，势能展开为坐标的二次型，就可以得到线性化的振动方程，但并没有给出一种规范的方法，因此添加了这部分内容。这部分内容主要参考了理科教材[4]。

第五部分内容是分析力学求解动力学方程的古典方法。虽然目前求解动力学方程往往采用数值方法，但并不代表该部分内容就不重要了，因为初次积分代表系统存在守恒量，在一些特殊条件下代表具体的力学量的守恒，如能量守恒、角动量守恒等，具有明确的物理意义，而不仅仅是数学上的抽象概念。另外需要对学生强调初次积分和约束的区别，虽然形式相似，但前者是由动力学方程得到的，而后者是纯粹的运动学概念。

（四）第五章动力学变分原理

动力学存在多种形式的变分原理，笔者在授课时只选择了工程中常用的两个变分原理，一是高斯最小拘束原理，二是哈密顿原理。前者在机构分析中应用较多，而后者在弹性振动中应用广泛。这一章的讲授内容包括：高斯原理、泛函与变分法、哈密顿原理。

第二部分泛函与变分法的讲授主要是为哈密顿原理打基础。虽然学生只需记住公式便可运用哈密顿原理，但实际上对于接触最多的有限自由度系统，直接使用第二类拉格朗日方程会比哈密顿原理方便得多，因此哈密顿原理主要是讲述一种思想而非具体方法，所以一定要讲授泛函和变分法的概念。对于哈密顿原理，其泛函的宗量较为抽象，可以引入简支梁的应变能（宗量为挠度）作为类比，便于学生理解。

第三部分的哈密顿原理与第二类拉格朗日方程等价，但使用起来需要分部积分，没有直接采用后者方便，学生往往会有一种印象，认为哈密顿原理用处不大。因此笔者授课时引入了简支梁的振动方程作为例题，虽然推导过程比较烦琐，但可以使学生了解到，哈密顿原理可以处理第二类拉格朗日方程不能处理的问题，而不仅仅是数学形式上更简洁。

四、结论

分析力学作为一门古老的学科，内涵外延非常丰富，针对不同本科专业的授课内容应具有不同的侧重点，授课方式也应有所不同。本文针对机械专业分析力学课程存在的一些问题，阐述了教学内容和方法上的具体改进。在教学内容中，充分考虑机械专业工科特点，删减了一些偏理科专业的内容。在教学方法上，一方面注重与其他课程的联系，突出分析力学的基础性。另一方面兼顾了课程的严谨性和学生的理解能力。实践证明收到了良好的教学效果。

参考文献：

[1]梅凤翔.分析力学的定义和内容——分析力学札记之二十五[J].力学与实践，2015，37（2）：238-242.

[2]力学词典编辑部.力学词典[M].北京：中国大百科全书出版社，1990.

[3]刘延柱，杨海兴，朱本华.理论力学[M].第2版.北京：高等教育出版社，2001.

[4]金尚年，马永利.理论力学[M].第2版.北京：高等教育出版社，2008.