泊松方程中域积分的一种新处理方法

徐聪

摘 要：在泊松方程中涉及到的域积分用径向积分法处理，能够有效地将源项引起的域积分作为一个解析过程转化为边界积分，对于已知函数的源项，则域积分到边界积分的转换是精确转换，为此径向积分法比其他转换方法更具有优势。数值算例表明，计算结果很理想。

关键词：泊松方程；域积分；径向积分法

中图分类号：G642 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）06-001-01

域积分在边界元中占有非常重要的地位，处理区域积分的方法大体上分为三类：（1）直接对区域内部作单元剖分，在内部区域单元上采用数值积分求解；（2）利用Green公式把区域积分转换成边界型积分；（3）采用数值近似法把区域积分转换成边界型积分.常用的方法是：高效伟教授提出的径向积分法（RIM）[1]、Brebbia等人提出的DRM法（Dual Reciprocity Method）[2]和MRM法（Multiple Reciprocity Method）[3].径向积分法将源项引起的域积分转化为边界积是一个解析的过程。如果源项是已知函数，则域积分到边界积分的转换是精确转换，不需要任何内部点，从而充分发挥了边界元法的优势，得到了快速发展[4].本文算例采用径向积分法.

一、泊松方程的域积分的转化

三、数值算例

边长为L L（L=6）的正方形区域内的位势问题，源项b为已知函数 .边界条件为上下边界通量q=0，左右边界位势分别为 和 .解析解为

左右边界通量的解析解分别应为 和 .采用线性边界单元对该问题进行分析，将分析结果与解析解比较，验证准确性.

泊松方程中出现的域积分采用径向积分法把其作为一种解析过程转换为边界积分.数值算例表明，本文计算结果非常有效，成功保留了边界元的优点。

参考文献：

[1] Gao X W. Evaluation of regular and singular domain integrals with boundary-only discret-

ization-theory and Fortran code. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2005，175（2）：265—290.

[2] Nardini D， Brebbia C A. A new approach for free vibration analysis using boundary elements//Brebbia CA. Boundary Element Methods in Engineering. Berlin： Springer， 1982.

[3] Nowak A J， Brebbia C A. The multiplier reciprocity method. A new approach for transforming BEM.domain intrgrals to the boundary[J]. Engineering Analysis with Boundary Elements，1989，6：164—168.

[4] AL-Jawary M A，Wrobel L C. Radial integration boundary integral and integro-differential equation methods for two-dimensional heat conduction problems with variable coefficients. Engineering Analysis with Boundary Elements，2012，36（5）：685—695.