一种新的四阶二次自治系统的动力学行为及数值仿真

尹社会,郭洪林,皮小力

(河南工业职业技术学院,河南 南阳　473000)



一种新的四阶二次自治系统的动力学行为及数值仿真

尹社会,郭洪林,皮小力

(河南工业职业技术学院,河南 南阳473000)

摘要通过理论和数值模拟分析了一种新的四阶二次自治系统的非线性特性和动力学行为。主要从对称性、耗散性、平衡点的稳定性、空间相图、时序波形图、分岔图、Poincare映射、功率谱等几个方面展示了系统具有丰富的动力学行为。

关键词二次自治系统;分岔;耗散性;Poincare映射

自从Lorenz[1]在一个简单的三维自治系统中首先发现了蝴蝶混沌吸引子之后,又有新的混沌吸引子不断被发现,这些混沌系统的动力学行为和分岔机理被许多研究者所认识和研究[2-10]。随着人们对混沌现象的深入研究,不仅丰富和完善了混沌学的研究内容,也提高了混沌理论在保密通信、图像加密、故障诊断和信号检测等方面的应用能力。

Liu等[11]在2004年提出了著名的Liu混沌系统,随后在2009年提出了一个含有y2项的混沌系统[12],其动力学行为及其混沌吸引子的形成机理已经被研究。2014年,孙德成等[13]基于这个含有y2项的混沌系统提出了一个新的四阶二次自治超混沌系统,但并没有进行系统的分析,尤其是其丰富的动力学行为没有被研究。我们进一步考虑该混沌系统,不仅从理论上给出对称性、耗散性、平衡点的稳定性等全局动力学行为,并通过数值仿真给出了系统的相图、时序波形图、分岔图、Poincare映射、功率谱等丰富的动力学特征。数值仿真结果表明该系统的典型混沌特性,验证了该系统在较宽的参数区间内能产生混沌信号,为实际工程应用提供了理论基础。

1新四阶二次自治系统数学模型

为了进一步分析系统的动力学特性,我们采取系统的一般形式

,

(1)

其中:(x,y,z,w)T∈R4为状态变量;a=0.5,b=5,c=2.5,d=2,f=4, e=g=h=1,系统有唯一平衡点O=(0,0,0,0)。当初值取(0.1,0.4,0.1,0.1),系统(1)的Lyapunov指数为LE1=0.059 1,LE2=0.055 5,LE3=-0.019 4,LE4=-2.095,进而可以得到该混沌系统的Lyapunov维数为

LEi=2+

。

(2)

此时系统呈现出超混沌行为,在MATLAB8.0(R2012B)环境下,采用四阶Runge-Kutta算法得出超混沌吸引子的数值仿真结果,如图1所示。可以看出明显与王震等[9]、Lorenz[1]、Liu等[11]的混沌系统吸引子的结构不同。

图1　吸引子相图Fig.1　Chaos attractor

2新四阶二次自治系统基本特性

2.1对称性、耗散性和吸引子的存在性

系统(1)在坐标变换(x,-y,-z,-w)下不变,说明系统具有关于x轴的对称性。

对于系统(1)在上述参数下有

(3)

吸引子是相空间中的一个点集,随着运动时间的增加,所有轨线都趋向于它。由式(3)知,系统(1)为耗散系统,且以指数形式e-2t收敛。意味着当t→+∞时,包含系统轨线的每个小体积元以指数率-2收缩到0,系统的所有轨线最终会被限制在体积为0的一个集合上,并且渐进地被固定在一个吸引子上,由此从一个方面表明了吸引子的存在性。

如果初值发生细微的变化,随着时间的推移系统的行为会发生明显的变化。图2为初值取(0.099 99,0.4,0.1,0.1)和(0.1,0.4,0.1,0.1)的初值敏感性时序波形图。

图2　初值敏感性时序波形Fig.2　Sequential waveforms of sensitivedependence on initial conditions

2.2平衡点及其稳定性

令系统(1)右边等于0,易知系统只有唯一平衡点O(0,0,0,0)。在平衡点处线性化系统(1)可得其Jacobi矩阵:

(4)

由|λI-J|=0可得四个特征值为λ1=2.436 2,λ2=0.101 7,λ3=-0.5,λ4=-4.037 9。其中两个负的实根表示在这两个方向收缩,而另两个正的实根表示在这两个方向扩张,因此平衡点O=(0,0,0,0)为不稳定的鞍点。

2.3连续功率谱与Poincare截面

以变量x为例给出系统(1)的功率谱,如图3所示。可以看出其时序波形是非周期的,且表现出连续的宽谱特征和峰值谱线,属于典型的混沌态。

图3　功率谱图Fig.3　Diagram of power spectrum

选取y=0平面作为截面,图4给出了系统(1)在此截面xz上的Poincare映射。由图4可以看出截面上有一些成片的具有分形结构的密集点,且吸引子的叶片清晰可见,进一步说明了此时系统是处于混沌态的。

图4　Poincare映射Fig.4　Poincare mapping

2.4系统参数的影响

通过分析,随着参数的变化,系统的动力学行为相应变化。

在其他参数不变,即b=5,c=2.5, d=2,f=4,e=g=h=1时,改变参数a,在a∈[0,3]的参数区间内,系统的分岔图如图5所示。由图5可知,当参数a变化时,系统表现出极限环(周期轨或拟周期轨)和奇怪吸引子等不同的非线性行为,即出现Hopf分岔和混沌现象。下面进一步通过数值模拟验证图5中的结论。

吸引子的平面投影如图6所示。当a=0.5时,系统的平面相图如图6(a)所示,为典型的混沌吸引子。当a=1.8时,系统的平面相图如图6(b)所示,为复杂的周期轨或拟周期轨。当a=3时,系统的平面相图如图6(c)所示,为周期轨。

结合分岔图5,通过功率谱图分析,Poincare映射图进一步分析,上述结论具有良好的一致性。

图5　分岔图Fig.5　Bifurcation diagram

图6　吸引子平面投影Fig.6　Planar projection of attractor

3结论

研究了一种四阶二次自治系统,并对系统的基本动力学行为进行了深入研究,包括功率谱、Poincare截面、分岔图等。分析表明该系统具有丰富的动力学行为,系统在参数变化时的动力学行为的演变呈现出周期、复杂周期(拟周期)、混沌以及超混沌运动,这些结论为系统电子振荡电路的实现和通信工程设计等应用提供了理论依据。

参考文献:

[1]Lorenz E N.Deterministic Non-periods Flows[J].J.Atoms.Sci.1963,20(2):130-141.

[2]尹社会,张勇,张付臣,等.基于Lorenz系统的强迫Lorenz混沌系统的动力学研究[J].东北师大学报:自然科学版,2014,64(1):42-47.

[3]李春来,禹思敏.一个新的超混沌系统及其自适应追踪控制[J].物理学报,2012,80(4):22-28.

[4]王光义,丘水生,许志益.一个新的三维二次混沌系统及其电路实现[J].物理学报,2006,74(7):3 295-3 301.

[5]李春来,禹思敏,罗晓曙.一个新的混沌系统的构建与实现[J].物理学报,2012,80(11):127-136.

[6]唐良瑞,李静,樊冰,等.新三维混沌系统及其电路仿真[J].物理学报,2009,77(2):785-793.

[7]陈红,周攀.一个四维系统的混沌动力学分析[J].甘肃科学学报,2013,25(1):13-16.

[8]Sprott J C.A Dunamical System with a Strange Attractor and Invariant Tori[J].Physics Letters A,2014,378:1 361-1 363.

[9]王震,孙卫.T混沌系统的动力学分析与同步及其电路仿真[J].物理学报,2013,81(2):154-160.

[10]包伯成,刘中,许建平.一类超混沌系统电路实现及其动力学分析[J].四川大学学报:工程科学版,2010,54(2):182-187.

[11]Liu Chongxin,Liu Tao,Liu Ling,etal.A New Chaotic Attractor Chaos[J].Chaos,Solitons and Fractals,2004,22:1 031-1 038.

[12]Liu Chongxin,Liu Ling,Liu Tao.A Novel Three-dimensional Autonomous Chaos System[J].Chaos,Solitons and Fractals,2009,39:1 950-1 958.

[13]孙德成,柏逢明.一种新的四阶自治超混沌系统的生成及特性分析[J].长春大学学报,2014,24(2):150-152.

Dynamical Behavior and Numerical Simulation of New Fourth-order Quadratic Autonomous System

Yin Shehui,Guo Honglin,Pi Xiaoli

(HenanPolytechnicInstitute,Nanyang473000,China)

AbstractThe non-linear characteristics and the dynamical behaviors of the new fourth-order quadratic autonomous system were analyzed by using theory and numerical simulation,and the rich dynamical behaviors of the system were displayed mainly from several aspects,such as symmetry,dissipativeness,stability of equilibrium point,spatial phase portrait,sequential waveforms,bifurcation diagram,Poincare mapping,power spectrum,etc.

Key wordsQuadratic autonomous system;Bifurcation;Dissipativeness;Poincare mapping

中图分类号:O357.1;O241.82

文献标志码:A

文章编号:1004-0366(2016)01-0051-04

作者简介:尹社会(1979-),男，河南沈丘人，硕士，讲师，研究方向为非线性动力系统和混沌控制与同步等.E-mail:hnzkny@126.com.

基金项目:南阳市科学技术发展规划项目(2013GG035).

收稿日期:2014-12-01;修回日期:2015-03-13.

doi:10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.01.012.

引用格式:Yin Shehui,Guo Honglin,Pi Xiaoli.Dynamical Behavior and Numerical Simulation of New Fourth-order Quadratic Autonomous System[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(1):51-54.[尹社会,郭洪林,皮小力.一种新的四阶二次自治系统的动力学行为及数值仿真[J].甘肃科学学报,2016,28(1):51-54.]