Goldie*-补模的推广

杨素云，吴　俊，刘少然

(安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖　241003)



Goldie*-补模的推广

杨素云，吴俊，刘少然

(安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖241003)

摘要：作为Goldie*-补模的推广，本文引入了主Goldie*-补模.称模M是主Goldie*-补模(主G*-补模)，如果对M的任意循环子模X，存在M的补子模Y，使得(X+Y)/X≪M/X且(X+Y)/Y≪M/Y.研究了主G*-补模的一些性质，并证明了若M=M1⊕M2,M1=aM,M2=bM,a,b是End(MR)的本原幂等元，且对任意N≪M，N=aN+bN.则M是主G*-补模当且仅当M1和M2是主G*-补模.

关键词：主G*-补模；补子模；补模

引言

本文的环均指有单位元的结合环，所有的模均是西模.设R为环，M为右R-模，Rad(M)为M的根.设L和K为M的子模，称K是M的多余子模或小子模[1]，如果对于M的任意子模L，由K+L=M可推出L=M，记作K≪M.称K是N在M中的补(弱补)[2]，如果K+N=M且K∩N≪K(K∩N≪M).称K是模M的补子模[1]，若K是M的某个子模的补.称模M是补模[1]，如果对M的所有子模X，存在一个补子模N.称模M是主补模[1]，如果对M的所有循环子模X，存在补子模N.主补模是补模的真推广.称M是提升模[2]，如果对M的任意子模N，存在M的一个直和分解M=D⊕D′，使得D⊆N且(D′∩N)≪M.称M是主提升模[3]，如果对M的任意循环子模N，存在M的一个分解M=D⊕D′，使得D⊆N且(D′∩N)≪M.主提升模是提升模的真推广.称关系KN是M余小子模[4]，如果K≤N≤M,且N/K≪M/K,记为KN.G.F.Birknmeier和F.T.Mutlu等在文献[5]定义了β*等价关系，模M的任意子模X，Y是β*等价的当且仅当(X+Y)/X≪M/X和(X+Y)/Y≪M/Y，记为Xβ*Y.称M是G*-提升模[5](在文献[9]中称之为H-补模)，如果对M的任意子模N，存在M的直和项D，使得Dβ*N.称M是一个G*-补模[5]，如果对M的任意子模N，存在M的补子模S，使得Sβ*N.它们之间有如下关系：提升模⊆G*-提升模⊆G*-补模⊆补模.称M是主G*-提升模[4]，如果对M的任意循环子模N，存在M的直和项D，使得Dβ*N.文中没有给出的符号请参考文献[7-9].受此启发，本文引入了主G*-补模的概念.

1预备知识

定义1.1[4]称模M的任意子模X，Y是β*等价的当且仅当

(X+Y)/X≪M/X,(X+Y)/Y≪M/Y

记为Xβ*Y.

由文献[4]可知β*关系是一个等价关系，下面给出了β*等价的一些等价刻画.

定理1.2[5]设X，Y≤M，则下列命题等价：

(1)Xβ*Y；

(2)X→(X+Y)和Y→X+Y；

(3)对M的任意子模A使得X+Y+A=M,则X+A=M且Y+A=M;

(4)若K+X=M对M任意的子模K成立，则Y+K=M也成立.如果Y+H=M对M的子模则X+H=M也成立.

引理1.3[5]设模M的子模X，Y，若X⊆Y+B且Y⊆X+A,其中A，B≪M.则Xβ*Y.

引理1.4[5]设模M的子模X，Y满足Xβ*Y，则下列两条件成立：

(1)X≪M当且仅当Y≪M；

(2)X在M中有(弱)补模C当且仅当C是Y在M中的(弱)补模.

引理1.5[5]设X1,X2,Y1,Y2≤M，使得X1β*Y1且X2β*Y2，则在(X1+X2)β*(Y1+Y2)且(X1+Y2)β*(Y1+X2).

由文献[5]可知0模和任意的小子模都有β*关系.从而由引理1.5知设X，Y≤M，如果Xβ*Y，则Xβ*(Y+J)，其中J是M的任意的多余子模.

引理1.6[5]设K，L，N是M的子模，f:M→M′是满同态.则

(1)若K是N在M中的补，且T≪M，则K是N+T在M中的补.

(2)若Kerf≪M且L是K在M中的补，则f(K)在M′中的补是f(L).

(3)若Nβ*L，则f(N)β*f(L).

2主要结果

定义2.1称M是主G*-补模，如果对M的任意循环子模N，存在M的补子模S，使得Sβ*N.

由定义易知模是G*-补模一定是主G*-补模，下面的例1说明主G*-补模是G*-补模的真推广.

定理2.2模M是主G*-补模当且仅当对任意循环子模X，存在M的补子模S和小子模H使得

X+H=S+H=X+S.

证明假设M是主G*-补模.则对M的任意循环子模X，存在一个补子模S使得Sβ*X.于是存在W≤M使得S+W=M且(S∩W)≪S.由文献[5]性质2.11知Xβ*(X+S)和Sβ*(X+S).由引理1.4和文献[5]推论2.13知W是S，X，X+S的弱补模，则M=X+S+W=X+W=S+W.令H=(X+S)∩W≪M易知H≪M，由模律可得：X+H=S+H=X+S,(X+S)∩W≪M.另一方面由引理1.3可得.

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推论2.3假设Rad(M)≪M.则模M是主G*-补模当且仅当对任意循环子模X，存在M的补子模S使得：

X+Rad(M)=S+Rad(M)

证明(充分性)由定理2.2显然.(必然性)由引理1.3容易得出.

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命题2.4设模M，则有下列条件

(a)M是一个主提升模；

(b)M是主G*-提升模；

(c)M是主G*-补模；

(d)M是主补模.

(a)⟹(b)⟹(c)⟹(d)成立.

证明(a)⟹(b)见文献[4]的定理3.4.(b)⟹(c)由定义显然.

我们仅证(c)⟹(d),已知M是主G*-补模，令X是M的循环子模，则存在M的补子模S，使得Xβ*S.所以存在W≤M，使得M=S+W,S∩W≪S.由于Xβ*S由引理1.4可得W是X的补，.从而M=X+W,X∩W≪W.故M是一个主补模.

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例1设Z为整数环，Q为有理数环，M为Z-模Q.因为Rad(Q)=Q，M的每个循环子模都是小子模或多余子模，由文献[4]的例2.15知M为主G*-提升模.由命题2.4可知M是主G*-补模.但M不是补模，由文献[5]定理3.6知M不是G*-补模.

一个模M称为主半单模[4]，如果M的每个循环子模都是M的直和项.

命题2.5每个主半单模是主G*-补模.

证明由半单模和主G*-补的定义显然可以得到.

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称模M为完全不变的[7]，若对它的任意自同态f，都有f(M)≤M.称M为duo模，如果M的每个子模都是完全不变的.称模M为分配模[9]，如果对M子模A，B，C，有A∩(B+C)=(A∩B)+(A∩C).称M的子模X是投射不变的[4]，如果对任意的e2=e∈End(MR),有eX⊆X.

定理2.6若M=M1⊕M2，其中M1=aM,M2=bM,{a,b}是End(MR)的本原幂等元，且对任意的N≤M,N=aN+bN.则M是主G*-补模当且仅当M1和M2是主G*-补模.

证明(⟹)令X=mR⊆M1，因为M是主G*-补模，存在M的一个补子模S，使得M=N+S且N∩S≪S,Sβ*mR.只要证aSβ*mR在子模M1中成立即可.假设存在K≤M1使得X+aS+K=M1，则X+S+K+N=M,由引理1.3可得X+K+N=M.则X+K+aN=M1,bN=M2，且bS≤bN.于是aS+N=M.又因为S是N在M中的补，S=aS.现在aS+aN=M1且aN∩aS≤N∩S≪S=aS.即aS是M1中的补子模，mRβ*aS，可推出M1是主G*-补模.同理可得M2也是主G*-补模.

(⟸)令m∈M.mR是M的循环子模，mR=(mR∩M1)⊕(mR∩M2).所以mR∩M1=m1R=amR和mR∩M2=m2R=bmR对m1∈M1,m2∈M2.因为M1和M2是主G*-补的，存在一个M1的补子模S1，有M1=N1+S1且N1∩S1≪S1，使得S1β*m1R.存在一个M2的补子模S2，有M2=N2+S2且N2∩S2≪S2,使得S2β*m2R.M=M1+M2=N1+S1+N2+S2,假设(N1+N2)∩(S1+S2)+K=(S1+S2)，则S1∩N1+S2∩N2+aK+bK=S1+S2可推出S1∩N1+aK=S1,由于S1∩K1≪S1，故aK=S1.同理可得bK=S2.因为K=aK+bK,故S1+S2=K.(N1+N2)∩(S1+S2)≤(S1+S2)，且由引理1.4可知(S1+S2)β*(m1R+m2R).故M是主G*-补模.

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推论2.7若M=M1⊕M2，M是duo模.则M是主G*-补模当且仅当M1和M2是主G*-补模.

证明由文献[1]的定理9、定理10、文献[4]的命题3.9和本文定理2.4可以得到.

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定理2.8设M是主G*-补模.若X≤M，对M的任意子模K，有(K+X)/X是(M/X)的补子模，则商模M/X是主G*-补模.

证明设(mR+X)/X是M/X的循环子模.因为M是主G*-补模，，所以存在M的补子模D，使得对任意的Y≤M，有M=mR+Y当且仅当M=D+Y.已知(D+X)/X是M/X的补子模.下证(mR+X)/Xβ*(D+X)/D，我们考虑典型满同态θ:M→M/X,由引理1.5，有θ(mR)β*θ(D).则M/X是主G*-补模.

定理2.9设M是主G*-补模.若M是分配模，则它的任意商模M/X是主G*-补模.

证明因为M是主G*-补模，则对M的任意循环子模N.设D是M的补子模，使得

M=D+D′，

D∩D′≪D，

D′≪M.

即Dβ*N.下证存在X≤N,使得(D+X)/X是M/X的补子模.因为

(M/X)=(D+X)/X+(D′+X)/X.

所以只需证

((D+X)∩(D′+X))/X≪(D+X)/X.

注意到

((D+X)∩(D′+X))/X+L/X=(D+X)/X.

(L/X)≤(D+X)/X.

因为M是分配模，所以D∩D′+L=D+X.由于D∩D′≪D，故L=D+X.即有(D+X)/X是(D′+X)/X在(M/X)中的补.从而(D+X)/Xβ*(N+X)/X.故(M/X)是主G*-补模.

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定理2.10设M是主G*-补模，若M为分配模，则M/Rad(M)是主半单的.

证明设X/Rad(M)是M/Rad(M)的循环子模，则X=mR+Rad(M)其中m∈M.因为M是一个主Rad补模，则对M的任意循环子模mR.存在D是M的补子模，使得M=D+D′,D∩D′≪M,且Dν*mR.由文献[5]推论2.12可得(mR+Rad(M))β*D.由引理1.3(2)，D′是X的补.有M/Rad(M)=X/Rad(M)+(D′+Rad(M))/Rad(M).因为M是分配模，(mR+Rad(M))∩(D′+Rad(M))=mR∩D′+Rad(M),mR∩D′≪D′可推出mR∩D′≪M,mR∩D′≤Rad(M).X/Rad(M)∩(D′+Rad(M))/Rad(M)=((X∩D′)+Rad(M))/Rad(M).就可以得到M/Rad(M)=X/Rad(M)⊕(D′+Rad(M))/Rad(M).则M/Rad(M)是主半单的.

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定理2.11设M是主G*-补模.若M为分配模，则M=A⊕B，其中A是主半单的.

证明由zorn引理，我们知M存在子模A使得Rad(M)⊕A是M的小子模.设X/Rad(M)是M/Rad(M)的循环子模，则X=mR+Rad(M)其中m∈A.因为M是一个主G*-补模，则对M的任意循环子模mR.存在D，使得M=D+D′，D∩D′≪D,D′≤M，且Dβ*mR.由引理1.5可得(mR+Rad(M))β*D.于是M/Rad(M)=X/Rad(M)+(D′+Rad(M))/Rad(M).根据模律知X∩D′⊆Rad(M),即X∩D′=0.故M=mR⊕D′，从而mR同构M/Rad(M)的一个子模.由定理2.9知M/Rad(M)是主半单的，故A是主半单的.

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参考文献：

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Extension of Goldie*-Supplemented Modules

YANG Su-yun,WU Jun,LIU Shao-ran

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241004, China)

Abstract:As a generalization of Goldie*-supplemented modules, a module M is called principally Goldie*-(G*-)supplemented if for every proper cyclic submodule X of M, there exists a supplement submodule Y of M such that (X+Y)/X≪M/X and (X+Y)/Y≪M/Y. Various properties of these modules are given. It is proved that if M=M1⊕M2, M1=aM, M2=bM, where {a,b} is a set of orthogonal idempotents of End(MR), such that for N≤M, N=aN+bN, then M is principally G*-supplemented if and only if M1 and M1 are principally G*-supplemented.

Key words:principally G*-supplement; supplement submodule; supplemented module

中图分类号：O153.3

文献标志码：A

文章编号：1001-2443(2016)02-0124-04

作者简介：杨素云(1990-)，女，安徽宿州人，硕士研究生，从事同调代数与代数表示论.

收稿日期：2015-03-10

DOI：10.14182/J.cnki.1001-2443.2016.02.005

引用格式：杨素云，吴俊，刘少然.Goldie*-补模的推广[J].安徽师范大学学报：自然科学版，2016，39(2)：124-127.