基于稀疏分解的SFM信号的时频分析方法*

全盛荣，张天骐，王俊霞，马宝泽

（重庆邮电大学 信号与信息处理重庆市重点实验室，重庆 400065）

基于稀疏分解的SFM信号的时频分析方法*

全盛荣，张天骐，王俊霞，马宝泽

（重庆邮电大学 信号与信息处理重庆市重点实验室，重庆 400065）

针对正弦调频(SFM)信号Wigner-Ville分布(WVD)存在严重的时频交叉项干扰问题，提出了一种基于稀疏分解的时频分析方法。该方法首先由信号的时频参数构建 Gabor原子字典，然后利用匹配追踪(MP)算法实现信号分解，并结合改进遗传算法寻找最佳匹配原子，最后将每次分解得到的 Gabor原子通过Wigner-Ville变换叠加得到无交叉项的信号 WVD。仿真结果表明，该方法能提高对信号稀疏分解的计算效率，且 Gabor原子的选取较为灵活，用少量原子可表示信号WVD。与传统的时频分析方法相比，该方法能有效抑制时频交叉项干扰，且保持高时频分辨率。

正弦调频；Wigner-Ville分布；交叉项干扰；稀疏分解；时频分辨率

0 引言

SFM(Sinusoidal Frequency Modulation)信号是一种典型的非平稳信号，具有频率时变、低截获概率等性质，在雷达、声纳、生物医学及地震信号处理等领域得到广泛应用[1]。传统的傅里叶变换是信号分析与处理的重要技术手段，但不能反映非平稳信号频率的时变本质，而时频分析[2-3]注重信号时变谱特征，描述信号随时间和频率的能量分布。因此，研究 SFM信号的时频分析方法具有重要的意义。

近年来，时频分析方法在非平稳信号处理领域中引起广泛关注和研究，主要应用于雷达目标探测、语音信号和图像处理、生物信号诊断等领域。Wigner-Ville分布(WVD)是分析非平稳时变信号的重要工具之一，是一种基本 Cohen类双线性时频分布，具有很好的时频聚集性[4]，但对于非线性调频信号会产生交叉项干扰。伪Wigner-Ville分布(PWVD)能够抑制交叉项干扰，但降低了时频分辨率，且改变了边缘性质[5]。1993年，MALLAT和 ZHANG[6]首次提出在过完备字典中对信号进行稀疏分解的思想，并引入了匹配追踪(Matching Pursuit，MP)算法。目前，稀疏分解被广泛应用到信号处理的许多方面，如编码、去噪、微弱信号提取等，但在时频分析中的研究甚少。文献[7]利用 Gabor原子对语音信号进行分解，很好地利用了 Gabor原子来表示信号的内在结构；文献[8]将MP分解方法应用在雷达目标识别中，该方法虽然提高了原子的搜索效率，但本质上没有降低信号分解的计算复杂度，难以实现信号实时处理。

为解决 SFM信号 WVD存在的时频交叉项干扰问题，本文提出一种基于稀疏分解的时频分析方法。该方法首先在Gabor原子字典中对信号进行MP分解，然后将分解得到的Gabor原子通过 Wigner-Ville变换叠加得到信号WVD。仿真结果表明，本文方法能提高对信号分解的计算效率，不仅能抑制交叉项干扰，还能保持高时频分辨率，是一种有效的时频分析方法。

1 SFM信号模型及时频特性分析

1.1 SFM信号模型

SFM信号的频率特性曲线是关于时间的正弦函数，其数学模型为：

式中，A为SFM 信号的幅度，fc为载频，fm为调制频率，mf为调制指数。由于瞬时频率是瞬时相位关于时间的导数，则：

式中，Δf为调制频偏，mf=Δf/fm。

1.2 时频特性分析

信号 s(t)的 Wigner-Ville变换定义为：

令 s(t)=Aejφ(t)，将 φ(t)按泰勒公式展开，由式(3)得：

由式(4)可知，当信号相位关于时间的二阶以上导数为零时，如线性调频信号WVD不含交叉项，表现出最佳时频聚集性；当信号相位关于时间的二阶以上导数不为零时，由于其高次项的作用，信号WVD会产生自身交叉项。为了解决 SFM信号的交叉干扰问题，本文将利用Gabor原子的时频特性，联合稀疏分解和WVD的方法对SFM信号进行分析。

2 基于稀疏分解的时频分析方法

2.1 Gabor原子字典的构建及离散化

Gabor原子的数学表示式为：

对于由 Gabor原子所构成的字典，首先将 gγ作归一化处理，即||gγ||=1，然后根据 Mallat索引算法对信号的时频参数进行离散化。

由图1可知，随着 j的递增位移参数的扫描间隔不断变得稀疏，而频率参数的扫描间隔不断变得密集。在迭代过程中，先根据 j值确定时频参数的取值范围和步距，再依次扫描时频参数来选取最相关的原子参数。

图1 Mallat索引算法

假设离散化 Gabor原子字典为Da={gγ(n)}γ∈Γ，则离散化 Gabor原子可表示为：

式中，γ=(aj，paj，Δu，ka-jΔv，iΔw)，ξ由参数 s、u和 N 决定。其中 a=2，Δu=1/2,Δv=π，Δw=π/6，0≤j≤log2N，0≤p≤N·2-j+1，0≤k≤2j+1，0≤i≤12。

2.2 联合MP分解和WVD的时频分析

假设 D为N维 Hilbert空间 H中的 Gabor原子字典，gγ为由参数组 γ定义的 Gabor原子。考察逼近任意信号f，信号长度为N，则信号可被分解为：

其中 α为优化因子，0＜α≤1。为了寻找与分解的残余最为匹配的原子，取 α=1。

当残余能量低于一定阈值或者满足一定的迭代次数时，该迭代过程结束。由式(7)可得，用少量Gabor原子即可表示信号的主要成分，即：

式(10)和 M＜＜N集中体现信号稀疏表示的思想，它代表信号稀疏分解的结果。

对每次迭代过程中分解得到的 Gabor原子进行Wigner-Ville变换，由式(12)得到信号WVD：

3 利用改进遗传算法寻找最佳匹配原子

基于MP的稀疏分解算法存在的关键问题是计算量大。本文采用分层思想对传统遗传算法(GA)寻找最佳匹配原子进行改进。利用过完备原子库“波形相同”的等价关系[9]，对字典 D按式(13)进行划分：

而每一个等价的子库为：

将定义一个原子的参数组作为待寻优参数，残余与最佳匹配原子内积的绝对值作为适应度函数。当每个子库运行到一定代数时，将 N个子库结果和平均适应度分别记录到数组 R[i，j](i=1，…，N；j=1，…，n)和 A[i]中，进行选择、交叉和变异操作，淘汰适应度值低的原子，然后更新 R[i，j]和 A[i]，并开始新的分解迭代过程。利用改进遗传算法寻找最佳匹配原子如图2所示。

图2 利用改进遗传算法寻找最佳匹配原子流程图

4 仿真及性能分析

仿真实验中，采用 SFM信号，信号长度为N=140，s(t)=exp[j0.5πt+j20sin(0.02πt)]。为便于信号分析和处理，对采样频率进行归一化处理。由文献[7]可知，当信号长度为140时，字典中含有 59129个 Gabor原子，满足原子字典的过完备性。

图3、图4分别为SFM信号的WVD和PWVD。由图可知，SFM信号WVD存在严重的交叉项，与理论分析相符；其PWVD虽抑制了交叉项，具有较好的聚集性，但降低了时频分辨率，改变了边缘性质。

图3 SFM信号的WVD

图4 SFM信号的PWVD

4.1 实验一：正弦调频信号的稀疏分解

对SFM信号在Gabor原子字典中做稀疏分解，迭代次数为200。图5表示Gabor原子示意图，Gabor原子的能量较为集中，这种集中的特性是由信号时频参数构成的 Gabor原子是一个高斯窗函数，具有代表性。

图5 Gabor原子

图6和图7分别表示 SFM信号在 200次迭代过程中分解系数的变化及逼近误差。随着迭代次数的增加，分解系数幅值不断减小，表明在分解的过程中残余能量越来越小（经过 200次分解后逼近误差值小于0.05），重构信号越来越逼近原SFM信号。

图6 稀疏分解系数 cγ

4.2 实验二：时频特性分析

通过改变迭代次数来比较由不同原子数构建信号的WVD。图8、图9分别表示为由30、50个Gabor原子构建信号的WVD，颜色表示信号能量分布。由图可知，Gabor原子在时频图上表现为时频块，具有最佳的时频聚集性，信号WVD是由一系列Gabor原子组合得到。仿真结果表明，本文方法有效抑制了SFM信号WVD的交叉项干扰，并保持高的时频分辨率。

图7 逼近误差σ

图8 30个Gabor原子稀疏表示的信号WVD

图9 50个Gabor原子稀疏表示的信号WVD

经过多组测试，不同Gabor原子数构建信号WVD的效果不同，说明信号的稀疏表示存在多种形式；同时在本文给出的参数条件下，采用35个Gabor原子构成信号的WVD效果最好。

4.3 实验三：稀疏分解性能分析

设种群进化代数为35，染色体个数为21。从算法复杂度角度来看，稀疏分解计算复杂度取决于残余与最佳匹配原子的内积运算量。假设基于MP分解计算速度为1，3种不同分解方法的相对计算速度及均方根误差比较如表1所示，以重构信号与原信号之间的均方根误差(RMSE)作为衡量重构信号质量的标准。

表1 相对计算速度和均方根误差比较

由表1可知，3种方法得到的 RMSE均小于-19 dB，说明35个Gabor原子可很好地重构原信号相对基于MP分解和GA的MP分解方法而言，本文方法在保证重构信号质量的情况下，提高了稀疏分解的计算效率。

5 结束语

从稀疏分解的角度出发，本文提出一种联合稀疏分解和Wigner-Ville分布的时频分析方法。在传统时频分析方法的基础上，本文利用 Gabor原子的时频特性，将信号WVD用一系列最佳匹配Gabor原子的WVD叠加得到。相对于信号的时频分布，稀疏分解得到的是与信号最为匹配原子的参数信息，灵活地选取 Gabor原子，可以更为稀疏地表示信号，有效地揭示了非平稳信号的时频结构，其不但是稀疏的，而且可以方便应用于进一步的信息处理。

[1]李英祥．低截获概率信号非平稳处理技术研究[D]．成都：电子科技大学，2003.

[2]邹红星，周小波，李衍达.时频分析：回溯与前瞻[J].电子学报，2000，28(9)：78-84.

[3]COHEN L.Time-frequency analysis[J].Upper Saddle River，NJ：Prentice-hall，1995，181(2)：335-337.

[4]QIAN S，CHEN D.Joint time-frequency analysis[J].IEEE Signal Processing Magazine，1999，16(2)：52-67.

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[7]LOBO A P，LOIZOU P C.Voiced unvoiced speech discrimination in noise using gabor atomic decomposition[C].IEEE International Conference on Acoustics，Speech and Signal Processing，2003，1：820-823.

[8]段沛沛，李辉.快速稀疏分解在雷达目标识别中的应用[J].电子技术应用，2015，41(7)：64-67.

[9]邵君，尹忠科，王建英.信号稀疏分解中过完备原子库的集合划分[J].铁道学报，2006，28(1)：68-71.

A new time-frequency analysis method of sinusoidal frequency modulation signals based on sparse decomposition

Quan Shengrong，Zhang Tianqi，Wang Junxia，Ma Baoze
(Chongqing Key Laboratory of Signal and Information Processing，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing 400065，China)

For the serious cross-terms interference problem of sinusoidal frequency modulation(SFM)signal Wigner-Ville distribution(WVD),a new time-frequency analysis method based on sparse decomposition is proposed.Firstly,the Gabor atom dictionary is constructed by signal time-frequency parameters,then the signal sparse decomposition is realized by using matching pursuit(MP) algorithm,and combined with the improved genetic algorithm to search the best matching atoms.Finally,the matching Gabor atoms constitutes the signal WVD without cross-terms through the Wigner-Ville transform in turns.Simulation results verify that the proposed method is efficient,it can improve the computational efficiency of signal decomposition,and a few Gabor atoms can represent signal WVD by a flexible selecting way.Compared with traditional time-frequency analysis methods,it can effectively restrain the time-frequency cross-term interference,and maintain a high time-frequency resolution.

SFM；WVD；cross-terms interference；sparse decomposition；time-frequency resolution

TN911.7

：ADOI：10.16157/j.issn.0258-7998.2016.06.024

全盛荣，张天骐，王俊霞，等.基于稀疏分解的 SFM 信号的时频分析方法[J].电子技术应用，2016，42(6)：87-90.

英文引用格式：Quan Shengrong，Zhang Tianqi，Wang Junxia，et al.A new time-frequency analysis method of sinusoidal frequency modulation signals based on sparse decomposition[J].Application of Electronic Technique，2016，42(6)：87-90.

2016-02-23）

全盛荣（1990-），通信作者，男，硕士研究生，主要研究方向：稀疏分解、通信信号处理，E-mail：srquancqupt@163. com。

国家自然科学基金项目（61371164，61275099）；信号与信息处理重庆市市级重点实验室建设项目（CSTC2009CA2003）；重庆市杰出青年基金项目（CSTC2011jjjq40002）；重庆市教育委员会科研项目（KJ130524）；重庆市研究生科研创新项目（CYS14140）

张天骐（1971-），男，博士，教授，主要研究方向：扩频信号的盲处理、神经网络实现以及 FPGA、VLSA实现。

马宝泽（1990-），男，硕士研究生，主要研究方向：盲信号分离算法研究。