浅谈中学生对锐角三角函数理解出现的问题及原因

【摘要】初中阶段，学生会学习到几类函数的基本概念与应用，如一次函数，二次函数，锐角三角函数等。其中锐角三角函数是特殊的一种函数，它不仅要结合特定的图形，而且表达式与其他函数也不相同。这使得教师在三角函数概念的教学上有着一定的难度，而一部分学生对锐角三角函数的理解也存在偏颇。本文将从三角函数概念发展的过程角度对初中生三角函数部分学习现状进行分析，并给出出现问题的原因。

【关键词】锐角三角函数 对应 现状及原因

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）01-0150-01

一、函数概念形成过程中的三角函数

三角函数也被称作圆函数。在古代研究三角函数，大都在一个半径确定的圆内进行。当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段长，故称圆函数。后来数学家雷狄库斯重新给出了三角函数的定义，他把三角函数定义为直角三角形边长比，建立了三角函数与角度的直接联系，脱离依赖圆弧作法。直到1748年，数学家欧拉在《无穷小分析引论》中首次令圆的半径为1，即置角与单位圆中，从而使正、余弦函数定义为相应的线段与圆半径之比。

有了以上定义，我们可以看出，三角函数存在的两个变量，一个是角度，一个是线段比。当自变量角度发生改变时，它所对应的各个三角函数值也在改变。但是，很明显的是，作为自变量的角度，并不参与求解各个三角函数值的运算。也就是说，某角度的各个三角函数值的解答过程，只是相应的线段在做比，角度本身没有参与这种得到结果的运算，这是一种角度与线段比的对应关系。

在函数概念形成的历史过程中，可以大致分为从“变量说”函数到“对应说”函数最后到“集合说”函数。现今人教版初中数学课本对函数的定义是“设在一个变化过程中有两个变量X与Y，如果对于X的每一个值，Y都有唯一的值与它对应，那么就说X是自变量，Y是X的函数”。这样的一种定义比较趋近于函数的“变量说”，而且之后学生接触到的一次函数、正比例函数等都是典型的用“变量说”来解释的函数。然而锐角三角函数与之不同的就是，它强调的是两变量之间的关系，并不只对自变量本身进行代数运算。因此，站在函数的高度并结合初中数学课本函数部分的内容来说，锐角三角函数是函数“对应说”中很好的例子。

二、锐角三角函数的概念教学现状及原因

在问及初中生函数有什么特点时，学生常常回答函数有自己解析式、图像、自变量X、因变量Y以及X可以经过运算得到Y等等。这些问题出现的原因是教材中首先采用了一次函数，反比例函数等这种用解析式表达的函数，因此这种认知的同化过程，即不断的加深深学生对函数有固定解析式且用X、Y表示的印象，对学生学习锐角三角函数时产生了负迁移。例如学生会出现这样的问题，他们认为既然叫锐角三角函数，为什么跟以前学的函数不一样，没有X和Y；为什么函数值的求解要在直角三角形中进行；为什么锐角三角函数有三个不同的表达式等等。

出现这些问题的原因，最主要一点上文已提到，锐角三角函数是函数“对应说”中很好的例子，而很多教师都没有这方面的意识，只是单纯的讲解锐角三角函数解析式，三个函数值的符号，没有把它上升到函数的高度。因此，学生出现问题的原因大致如下。

首先，由于数学教师没有这方面的体会，所以在讲解锐角三角函数时，很少会提到“对应”这个词，没有为学生讲明白锐角三角函数与之前所学函数的实质性差别。三角函数之所以也叫函数，更为突出的是它体现了函数的“对应”思想。没有直接把角度放入表达式中进行代数运算，而是用角所对应边的比值来表示这个角的某个三角函数值。教师若是让学生死记硬背锐角三角函数的三种函数符号和计算方法，学生自然不会将三角函数跟之前所学函数有何区别有何相同进行比较联系，而会一直带着疑问。这样的教学对于中学生来说，是充满了心理上的困难。

其次，锐角三角函数本身的表达形式也让学生现迷惑不已。由于要在直角三角形中用代数式解决角的问题，所以人为的给出了锐角的三种三角函数值的符号。“sin、cos、tan”这三个符号不能体现出锐角三角函数的对应性实质，而是让学生误认为是它的解析式。心里并没有思考锐角三角函数的对应实质。

总之，锐角三角函数有其特殊的性质，教师在教学上应站在更高的函数角度为学生讲解。

参考文献：

[1]引自《数学辞海》第一卷 平面三角形

[2]引自《锐角三角函数》人教版九年级下册 第二十八章

[3]数学辞海[Z].第一卷 平面三角形.2002

[4]杜炜.函数概念的发展历程[J].濮阳教育学院学报.2003.（4）：10-11

[5]姚晶.关于三角函数的教学[J].数学通报.1996.（5）：16-21

[6]A.A斯托利亚尔.数学教育学[M].丁尔阩等，译.人民教育出版社.1985

[7]濮安山.初中生函数概念发展研究[D].吉林：东北师范大学，2011

作者简介：

孙牟昕（1991-），女，汉族，辽宁人，沈阳师范大学教师专业发展学院在读硕士研究生，主要研究方向数学课程与教学论。