高等几何的高观点对初等几何的指导作用

李中 李伟勋

摘要：高等几何是高等师范院校数学教育专业的主干课程之一。由于高等几何贯穿了大量现代数学的观点、思想和方法，因此，学生学习了高等几何，能够加深对中学几何的理论和方法的认识，从而掌握用较高观点去处理初等几何问题的能力。笔者在长期的高等几何教学实践中，对高等几何的高观点对初等几何的指导作用做了一些教学尝试和探讨。

关键词：高等几何;初等几何; 指导作用

近年来，随着高等几何课程教学改革的纵深发展，越来越多的数学教师认识到，深入思考高等几何对初等几何教学指导作用的问题很有必要，在传授专业理论知识的同时，应注重高等几何与初等几何的联系，明确高等几何对初等几何教学指导的意义。

一、高等几何能够居高临下地看待初等几何

1872年，德国数学家克莱因在爱尔兰根大学宣读了现在大家叫“爱尔兰根纲领”的演说，提出了变换群的观点，明确地表述了构成几何的普遍原则，即是说可以考虑空间的一一变换的任何一个群，而且研究在这个群的一切变换下保留不变的图形性质。现行的高等几何教材一般都是利用克莱因变换群的观点建立的，根据这一观点，运动群下图形不变性质的研究，就构成欧氏几何;仿射群下图形的不变性质的研究就构成仿射几何;射影群下图形的不变性质的研究就构成射影几何。总之，一门几何学就是研究图形在某一变换群下不变性质的科学。利用克莱因变换群观点可以重新审视初等几何，明确欧氏几何与仿射几何、射影几何之间的联系与区别。中学初等几何主要研究欧氏几何，因为欧氏几何是射影几何的一个特例，所以，教师可用高等几何的较高观点来指导初等几何的教学，从而不断改进初等几何的教学方法，不断提高初等几何的教学质量。

二、高等几何对初等几何的指导作用之例证

1.利用仿射变换解决初等几何问题

根据高等几何知识，只要选取恰当的仿射变换，任意一个三角形、平行四边形、梯形或椭圆与特殊的正三角形、正方形、等腰梯形或圆都可以互相转换。由于仿射变换保持同素性、平行性、共线三点的简比不变、封闭图形的面积之比不变，因此我们可以根据特殊图形得出的结论推出原图形对应的结果。用仿射变换解决这类问题时，实质上是由特殊到一般的推理，因此往往可以把问题化繁为简，从而收到事半功倍之功效。

2.德萨格定理及其逆定理的应用

利用德萨格定理及其逆定理可以证明大量的初等几何中的共点线和共线点问题。例如命题“三角形垂心、重心、外心三心共线”“ 三角形的三中线交于一点”，都可用此法证明。

例1： 证明三角形垂心、重心、外心三心共线（欧拉线）。

证明：设ΔABC的垂心、重心、外心分别为H、G、L，又设D、E分别为BC、CA边上的中点，考察ΔDEL和ΔABH，易知DE//AB，DL//AH（同垂直于BC），EL//BH（同垂直于AC）。故三点DEAB、DLAH、ELBH均为无穷远点，因而共线，由德萨格对偶定理知，三线AD、BE、HL共点。又ADBE=G，即点G位于直线HL上，故H、G、L三点共线。证毕。

3.帕斯卡与布利安双定理及其逆定理的应用

帕斯卡定理和布利安双定理是高等几何的两个互为对偶的著名定理，且逆定理都成立。其中帕斯卡定理发表于1640年，布利安双定理则发表于1806年，两者相距166年之久。帕斯卡定理和布利安双定理及其逆定理以及各种特殊情况在初等几何中都有着重要的应用，下面仅以布利安双定理的应用举例如下：

例2：证明：外切于抛物线的三角形的垂心在准线上。

证明：设是外切三角形的边，分别是垂直于的抛物线的切线，考虑六边形;由布利安双定理有：共点，其中前面两条直线（三角形的高线）交于三角形的垂心S，第三条是抛物线的准线，所以S在准线上。证毕。

总之， 高等几何对初等几何的指导作用非常重大，我们应在教学中引导学生掌握高等几何的观点及思想方法，以利于学生居高临下地认识和掌握初等几何的本质和内涵。

参考文献：

[1]（美）F.艾利斯.射影几何的理论和习题[M].胡宗慎译.上海：上海科学技术出版社，1987.

[2]周兴和.高等几何（第三版）[M].北京：科学出版社，2015.