b-度量空间中四个映象的一个新的公共不动点定理

李何东，谷　峰

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)



b-度量空间中四个映象的一个新的公共不动点定理

李何东，谷峰

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

摘要：利用b-度量空间中自映象对相容和弱相容的条件，讨论了b-度量空间中一类映象的公共不动点的存在性和唯一性问题，得到了一个新的公共不动点定理，所得结果推广和改进了度量空间中的已有结论.

关键词：b-度量空间；公共不动点；相容映象；弱相容映象

1引言和预备知识

自从Czerwik[1]提出b-度量空间的概念以来，众多学者深入研究了b-度量空间中的不动点和公共不动点问题，获得了许多有意义的研究结果[1-7].关于度量空间中公共不动点问题的研究，Jungck[8]引入相容映象的概念发挥了及其重要的作用. 2011年，Akkouchi[5]把相容映象和弱相容映象的概念引入到b-度量空间中，得到了一些公共不动点结果.

2008年，陈军民和谷峰[9]在度量空间中研究了如下压缩条件：

d(Sx,Ty)≤f[d(Sx,Ax),d(Ty,By)]+ad(Sx,By)+bd(Ax,Ty)+cd(Ax,By)

其中f:[0,∞)×[0,∞)→[0,∞), 在一定条件下，证明了一个公共不动点定理，其结果改进和发展了文献[10-12]中的相关结果.

本文受上述文献的启发，把上述问题放在b-度量空间的框架中加以考虑，得到了新的公共不动点定理，所得结果包含了文献[9-12]中的相关结果为特例.

定义1[1]设X是一个非空集合，k≥1是一个给定的实数. 称函数d:X×X→R+是集合X上的一个b-度量，若∀x,y,z∈X，有以下条件被满足

(i)d(x,y)=0⟺x=y

(ii)d(x,y)=d(y,x)

(iii)d(x,y)≤k[d(x,z)+d(z,y)]

这时我们称(X,d)是一个b-度量空间，实数k≥1称为该b-度量空间的系数.

注1度量空间是b-度量空间的特例，事实上，当k=1时，(X,d)成为度量空间. 反之，b-度量空间不一定是度量空间，例子如下.

例1[3]设X=R,定义d(x,y)=(x-y)2,那么它是一个k为2的b-度量空间，但显然不满足度量空间的三角不等式.

定义3[4]设(X,d)是一个b-度量空间，点列{xn}⊂X，如果d(xn,xm)→0(n,m→∞),则称点列{xn}为X上的一个柯西列.

注2[4]收敛点列只有一个极限，且每一个收敛点列都是柯西列.

定义4[4]若b-度量空间(X,d)上所有的柯西列都收敛，则称这个b-度量空间为完备b-度量空间.

定义5[5]b-度量空间(X,d)上的自映象对(f,g)称为是相容的，如果∀{xn}⊂X,只要fxn→x,gxn→x(n→∞),x∈X，就有d(fgxn,gfxn)→0(n→∞).

定义6[5]b-度量空间(X,d)上的自映象对(f,g)称为弱相容的，如果

{t∈X:f(t)=g(t)}⊂{t∈X:fg(t)=gf(t)}.

注3显然，相容映象对必是弱相容映象对，但反之不真，反例见例2.

例2设X=[2,20],定义b-度量如例1，定义映象f,g:X→X如下

要使fx=gx,则x=2，显然fg(2)=gf(2)=2,故映象对(f,g)是弱相容的，但对于数列xn→5,xn>5,我们有fxn=xn-3→2,gxn≡2→2,但当n→∞时，d(fgxn,gfxn)=[f(2)-g(xn-3)]2=(8-2)2≠0,故映象对(f,g)不是相容的.

注4与度量空间不同，集合X上的一个b-度量不一定连续，例子可见[3]. 但有以下引理：

定义7设(S,T)是b-度量空间(X,d)中的一对自映象，如果点列{xn}⊂X满足d(Sxn,Txn)→0(n→∞),则称点列{xn}为映象对(S,T)的渐近正则列.

2主要结果

定理1设(X,d)是一个具有系数k(k≥1)的完备b-度量空间，S,T,A,B:X→X是X上的4个自映象，且满足下面的条件：

(i)SX⊂BX,TX⊂AX；

(ii) 存在点列{xn}⊂X,使{xn}为映象对(A,S)和(B,T)的渐近正则列；

(iii)∀x,y∈X,有

d(Sx,Ty)≤f[d(Sx,Ax),d(Ty,By)]+ad(Sx,By)+bd(Ax,Ty)+cd(Ax,By).

(1)

其中a,b,c∈[0,1).且a+b+c<1/k4,f:[0,∞)×[0,∞)→[0,∞),满足：∀x,y∈[0,∞),有

(2)

f(0,t)<(1/k-bk)t,f(t,0)<(1/k-ak)t,∀t>0,

(3)

如果以下条件之一被满足，则S,T,A,B有唯一的公共不动点.

(I)A连续，且(S,A)相容，(T,B)弱相容；

(II)B连续，且(S,A)弱相容，(T,B)相容；

(III)A,B之一为满射，且(S,A)和(T,B)都是弱相容的.

证明先证{xn}为映象对(A,B)的渐近正则列. 由式(1)及三角不等式得

d(Sxn,Txn)≤f[d(Sxn,Axn),d(Txn,Bxn)]+ad(Sxn,Bxn)+bd(Axn,Txn)+cd(Axn,Bxn)≤

f[d(Sxn,Axn),d(Txn,Bxn)]+akd(Sxn,Axn)+bkd(Txn,Bxn)+

(ak+bk+c)d(Axn,Bxn)，

(4)

由式(4)及三角不等式得

d(Axn,Bxn)≤kd(Axn,Sxn)+k2d(Sxn,Txn)+k2d(Txn,Bxn)≤

(k3+ak3)d(Sxn,Axn)+(k2+bk3)d(Txn,Bxn)+

(ak3+bk3+ck2)d(Axn,Bxn)+k2f[d(Sxn,Axn),d(Txn,Bxn)],

因为a+b+c<1/k4，k≥1所以ak+bk+c≤ak+bk+ck<1/k3，于是式(4)可化为

(5)

利用条件(ii)及式(2)，对式(5)取极限得

d(Axn,Bxn)→0(n→∞).

(6)

所以{xn}为映象对(A,B)的渐近正则列.

下证{Axn}是X中的柯西列. 由压缩条件(1)及三角不等式可得

(7)

由三角不等式及式(7)可推得

d(Axn,Axm)≤kd(Axn,Sxn)+k2d(Sxn,Txm)+k3d(Txm,Bxm)+k3d(Bxm,Axm)≤

(8)

因为ak+bk+c≤ak+bk+ck<1/k3，式(8)可化为

(9)

利用条件(ii)，式(2)和式(6)，对式(9)取极限得d(Axn,Axm)→0(n,m→∞),故{Axn}是X中的柯西列. 由X完备知，存在z∈X,Axn→z(n→∞),由引理1及(ii)和式(6)可得Sxn→z,Txn→z,Bxn→z(n→∞),即

Axn→z,Sxn→z,Txn→z,Bxn→z(n→∞).

(10)

下证z是S,T,A,B的公共不动点.

I)设A连续，且(S,A)相容，(T,B)弱相容，由A的连续性及式(10)可得A2xn→Az,ASxn→Az,

ABxn→Az,ATxn→Az(n→∞).由于式(10)，d(Sxn,Axn)→0(n→∞)，ASxn→Az(n→∞)以及(S,A)的相容性，有d(SAxn,ASxn)→0(n→∞).再由引理1可得SAxn→Az(n→∞).

下面证明Az=z.事实上，若Az≠z，由式(1)得

由引理2知d(SAxn,A2xn)→0(n→∞)，d(Txn,Bxn)→0(n→∞)，再利用引理2，对上式两边同取上极限并注意到a+b+c<1/k4，得

此为矛盾，故Az=z.

下证Sz=z，否则，若Sz≠z，由压缩条件(1)及Az=z.得

对上式两边同取上极限并利用引理2及条件(3)可得

此为矛盾，故Sz=z.

由z=Sz∈SX⊂BX，存在u⊂X，使得Az=z=Sz=Bu，下证Bu=Tu. 事实上，若Bu≠Tu，由式(1)及式(3)可得

此为矛盾，故Bu=Tu=z. 由于(T,B)弱相容可得Tz=TBu=BTu=Bz. 由式(1)-(3)可得

f(0,0)+ad(z,Tz)+bd(z,Tz)+cd(z,Tz)≤(a+b+c)d(z,Tz).

因为a+b+c<1/k4≤1，所以d(Tz,z)=0,故Tz=z. 综上所述z=Az=Tz=Bz=Sz，即z是S,T,A,B的公共不动点.

下证公共不动点的唯一性. 设另有公共点w，则利用式(1)有

(a+b+c)d(z,w).

注意到a+b+c<1/k4≤1，所以d(z,w)=0,故z=w. 故z是S,T,A,B的唯一公共不动点.

(II)当B连续，且(S,A)弱相容，(T,B)相容时，与上述情况类似可证.

(III)设A,B之一为满射，且(S,A)和(T,B)都是弱相容的. 不妨设A为满射，则对z∈X,存在t∈X,使At=z. 利用式(1)有

若St≠z两边同取上极限并利用引理2及条件(3)得

此为矛盾，故St=z=At. 又因为(S,A)弱相容，所以Az=ASt=SAt=Sz. 由式(1)可得

两边同取上极限并利用引理2及条件(2)可得

f(0,0)+akd(Sz,z)+bkd(Sz,z)+ckd(Sz,z)=(a+b+c)kd(Sz,z).

因为k≥1,所以a+b+c<1/k4≤1/k2，所以d(Sz,z)=0,故Sz=z. 由z=Sz∈SX⊂BX，存在v⊂X，使得z=Az=Sz=Bv，根据(I)中相应部分的证明，同理可证z=Az=Tz=Bz=Sz. 唯一性同理易证.

B为满射时同理可证. 证毕.

注5如果在定理1中取k=1，则得文献[9]中的相关结果，因此本定理包含文献[9]中的结果为特例，因而也改进和扩展了文献[10-12]中的相关结果.

例3设X=[0,1],定义b-度量d(x,y)=(x-y)2,定义X上的自映象S,T,A,B分别为

即点列{xn}为映象对(A,S),(B,T)的渐近正则列. 另外易得

f[d(Sx,Ax),d(Ty,By)]+ad(Sx,By)+bd(Ax,Ty)+cd(Ax,By).

推论1设(X,d)是完备b-度量空间，{Ti}i∈I(I是指标集，I的势不小于2)是X上的自映象族，A,B是X上的自映象，若A,B,{Ti}i∈I满足以下条件：

i)TiX⊂BX,TiX⊂AX(∀i∈I)；

ii)存在点列{xn}⊂X为映象对(A,Ti)和(B,Ti)的渐近正则列；

iii)∀x,y∈X,有

d(Tix,Tjy)≤f[d(Tix,Ax),d(Tjy,By)]+ad(Tix,By)+bd(Ax,Tjy)+cd(Ax,By).

其中a,b,c∈[0,∞),且a+b+c<1/k4,f:[0,∞)→[0,∞),满足定理1的式(2)和式(3). 如果以下条件之一被满足，则{Ti}i∈I,A,B有唯一公共不动点.

(I)A连续，且(Ti,A)相容，(Ti,B)次相容；

(II)B连续，且(Ti,A)次相容，(Ti,B)相容；

(III)A,B之一为满射，且(Ti,A)和(Ti,B)都是次相容.

证明对任意的i,j,m∈I,i≠j≠m，由定理1知A,B,Ti,Tj存在唯一的公共不动点zij，A,B,Ti,Tm存在唯一的公共不动点zim，而由压缩条件我们知道

d(zij,zim)=d(Tjzij,Tmzim)≤f[d(Tjzij,Azij),d(Tmzim,Bzim)]+

ad(Tjzij,Bzim)+bd(Azij,Tmzim)+cd(Azij,Bzim).

由于f(0,0)=0,上式变成为

d(zij,zim)≤(a+b+c)d(Azij,Bzim).

注意到a+b+c<1/k4≤1得d(zij,zim)=0，即zij=zim，由i,j,m的任意性即得{Ti}i∈I,A,B有唯一公共不动点. 证毕.

注6推论1中取k=1就得到了文献[9]中推论1，同时如果取I的势为2，则对应结果推广了文献[10-12]中的主要结果.

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第15卷第1期2016年1月杭州师范大学学报(自然科学版)JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.15No.1Jan.2016

A New Common Fixed Point Theorem for Four Maps inb-metric Spaces

LI Hedong, GU Feng

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Abstract:This paper aims to utilize the compatible and weakly compatible conditions of self-mapping pair, discuss the existence and uniqueness of common fixed point for a class of mappings in b-metric spaces, and obtain a new common fixed point theorem. Meanwhile the existing conclusions in metric spaces are generalized and improved.

Key words:b-metric spaces; common fixed point; compatible mappings; weakly compatible mappings

文章编号:1674-232X(2016)01-0075-06

中图分类号:O177.91MSC2010：47H10，54H25

文献标志码:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2016.01.015

通信作者：谷峰(1960—)，男，教授，主要从事非线性分析及应用研究．E-mail：gufeng99@sohu.com

基金项目：国家自然科学基金项目(11071169);浙江省自然科学基金项目(Y6110287).

收稿日期：2015-06-12