一类具有常旗曲率射影平坦的 Finsler 度量的构造

耿　杰, 宋卫东

(1.安徽工程大学机电学院, 安徽 芜湖 241000; 2.安徽师范大学数学计算机科学学院, 安徽 芜湖 241000)



一类具有常旗曲率射影平坦的 Finsler 度量的构造

耿杰1, 宋卫东2

(1.安徽工程大学机电学院, 安徽 芜湖 241000; 2.安徽师范大学数学计算机科学学院, 安徽 芜湖 241000)

摘要：本文应用 Hamel 定理构造了一类具有常旗曲率射影平坦的 Finsler 度量, 推广了沈忠民在文献 [3] 中的其中一个结论.

关键词：射影平坦；常旗曲率；Finsler度量；Minkowski范数

1引言及主要结论

由于有着广泛的应用背景,Finsler几何越来越引起人们的关注,并取得了许多重要的成果.Finsler几何中的一个基本问题是研究在开区域U⊂Rn中射影平坦的特征.Finsler度量在U上射影平坦是指其测地线为直线,这是Hilbert第四问题的一般情形[1].1903年,Hamel[2]证明了Finsler度量F=F(x,y)在U上是局部射影平坦的充要条件为

Fxkylyk=Fxl

(1)

Beltrami定理表明一个Riemann度量是局部射影平坦的当且仅当它具有常截面曲率.Finsler几何中的旗曲率是Riemann几何中截面曲率的自然拓广.给定流形M上的一个芬斯勒度量F,旗曲率是切平面P和P中方向y的函数K=K(P,y).旗曲率只是切丛上的标量函数K=K(x,y),若K为常数,则称F具有常数旗曲率.芬斯勒几何中的一个重要问题是研究和刻划具有标量(常数)旗曲率的芬斯勒度量,这也是芬斯勒几何学家十分关注的一个热点问题.

1929年,L.Berwald给出了这样的一个定理:对于任意具有常旗曲率λ的射影平坦Finsler度量,那么函数

(2)

一定满足条件

fxk=ffyk

(3)

其中P(x,y)为射影因子,F(x,y)为射影平坦;反之,则不真.

但是沈忠民在文献[3]中证明了:当λ=1时,上述定理的逆命题是成立的,即如果存在函数

f(x,y)=P(x,y)+iF(x,y)

满足条件

fxk=ffyk,

那么F(x,y)一定是具有常旗曲率为1的射影平坦Finsler度量,且P(x,y)为射影因子.

同时在文献[3]中沈忠民给出了这样的一个定理:

设H(x,y)=P(x,y)+iF(x,y),P(0,y)=φ(y),F(0,y)=ψ(y),如果函数H(x,y)满足Hxk=HHyk,则F(x,y)为射影平坦Finsler度量,且F(x,y)为旗曲率为1,P(x,y)为射影因子.

在文献[3]中沈忠民对H(x,y)的构造作出了规定,即

H(x,y)=Φ(y+H(x,y)x),

(4)

其中Φ(y)=φ(y)+iψ(y),可以证明H(x,y)满足Hxk=HHyk.

且在文献[3]中沈忠民给出了一个具体满足条件的例子.

本文推广了文献[3]中的条件,得到了相关的结论,并给出了详细的推导过程.

其中

分别表示为射影因子和具有常旗曲率为1的射影平坦Finsler度量,且P(0,y)=φ(y),F(0,y)=ψ(y).式中的A,B,C,D,C′表示如下:

A=[(1+λ)|y|2cos(2α)+(1+λ)2|x|2|y|2-(1+λ)22]2+[(1+λ)|y|2sin(2α)]2,

B=(1+λ)|y|2cos(2α)+(1+λ)2|x|2|y|2-(1+λ)22,C=(1+λ)sin(2α),

C′=[cos(2α)+(1+λ)|x|2](1+λ),D=(1+λ)|x|4+(1+λ)|x|2cos(2α)+1.

注:当λ=0时,该定理就是文献[3]中的结果.

2定理的证明

首先,我们有

(5)

令

(6)

得Φ(y)=φ(y)+iψ(y)=

(7)

所以根据式(4)得到

H(x,y)=Φ(y+H(x,y)x)=

(8)

对式(8)两边同时平方,化简得

[ei2α+(1+λ)|x|2]H2(x,y)+2(1+λ)H(x,y)+(1+λ)|y|2=0.

(9)

由求根公式得

(10)

下面根据式(5)来求

的实部和虚部.

(11)

根据式(5)得

(12)

其中

A=[(1+λ)|y|2cos(2α)+(1+λ)2|x|2|y|2-(1+λ)22]2+[(1+λ)|y|2sin(2α)]2,

B=(1+λ)|y|2cos(2α)+(1+λ)2|x|2|y|2-(1+λ)22.

(13)

所以由式(10)(12)得到

(15)

令

D=(1+λ)|x|4+(1+λ)2|x|2cos(2α)+1.

即式(15)可简化为

(16)

其次对式(16)通过化简可转化为

H(x,y)=P(x,y)+iF(x,y).

其中:

(17)

(18)

令

C=(1+λ)sin(2α),

C′=[cos(2α)+(1+λ)|x|2](1+λ).

所以得

(19)

(20)

在式(19)中

(21)

最后由式(19)(21)可以得到

(22)

所以即得

(23)

同理可以得到

(24)

参考文献:

[1] HILBERT D. Mathematical Problems[J]. Bull Amer Math Soc,1902,8(10):437-479.

[2] HAMEL G. Uber die Geometrieen in denen die Geraden die Kürzesten sind[J]. Mathematische Annalen, 1903,57(2):231-264.

[3] SHEN Z. Projectively flat Finsler metrics of constant flag curvature[J]. Trans Amer Math Soc，2003，325:1713-1728.

[4] CHERN S S,SHEN Z.Riemann-Finsler Geometry[M]. Singapore:World Scientific,2005.

[5] 莫小欢.黎曼-芬斯勒几何基础[M].北京:北京大学出版社,2007.

[6] CHENG Y, SHEN Z. Finsler Geometry[M]. Beijing:Science Press,2012.

第15卷第1期2016年1月杭州师范大学学报(自然科学版)JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Vol.15No.1Jan.2016

A New Class of Projectively Flat Finsler Metrics with Constant Flag Curvature

GENG Jie1, SONG Weidong2

(1.Anhui Polytechnic University, Mechanical &Electrical College, Wuhu 241000, China; 2.College of

Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

Abstract:This paper constructs a class of projectively flat Finsler metric with constant flag curvature by Hamel theorem, and promotes a conclusion of Shen Zhongmin in the literature [3].

Key words:projectively flat; constant flag curvature; Finsler metric; Minkowski norm

文章编号:1674-232X(2016)01-0071-04

中图分类号:O186MSC2010：53C60, 53A20

文献标志码:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2016.01.014

通信作者：宋卫东(1958—),男,教授,主要从事微分几何研究.E-mail:swd56@sina.com.

基金项目：安徽省教育厅自然科学基金重点项目(KJ2010A125).

收稿日期：2015-04-08