关于“模m剩余类群”的教学探究

杨波

【摘 要】主要针对模m剩余类加群和模m剩余类乘群的讲授方法作了探讨，在加群部分重点对加群中负元的求法作了说明；在乘群部分重点对模m剩余类中的非零元可以作成群的条件作了解释。

【关键词】群；模m剩余类；逆元；负元

0 引言

近世代数是一门研究不同的代数系统的学科，其中会涉及许多抽象的定义和性质，这就使初学者很难正确理解这些抽象的定义与性质。为了提高学生的学习兴趣，我们可采用不同的教学方法来提高近世代数的教学效果。例如，对模m剩余类加群的同态关系的探究[3]；对模m剩余类加群的性质进行了分析[4]。本文就针对有关模m剩余类的教学方法作一些初步探究。

1 模m剩余类

为了讲清楚什么是模m剩余类，需要给出一些预备知识。

定理1[1]：设R是A上的一个等价关系，对a∈A，令：

[a]={xx∈A，xRa}

则A的子集族：

S={[a]a∈A}

是A的一个分类。其中，[a]称为A的一个包含a的R等价类，a称为代表。

定理2[2]：对任一整数a，b（b≠0），存在一对整数q和r满足：

a=bq+r，0≤r

而这样的q和r是唯一的。r称为a被b除的余数。

有关模m剩余类定义的引入，我们采用以下方法。首先，设A=Z，

m∈N，令：

Rm={（a，b）a，b∈Z，ma-b}

由等价关系Rm的规定知：

[a]=[b]？圳ma-b

下面，我们用m分别与a，b作除法，由定理2知，存在q1，r1和q2，r2满足：

a=mq1+r1，0≤r1

a=mq2+r2，0≤r2

当r1>r2时，a-b=（q1-q2）m+（r1-r2），0

当r1

由以上的讨论可知，当a与b分别与m作除法它们的余数相等时，就有[a]=[b]。我们把模m剩余类组成的集族记为Zm，即：

Zm={[0]，[1]，[2]，...，[m-1]}

2 模m剩余类作成的加群

在这一部分的教学中，我们首先要解释一下，模m剩余类加群是怎么构造的，其次，还要重点说明模m剩余类加群中负元的求法。为了讨论清楚模m剩余类作成的加群，我们首先需要引入群的定义。

定义1[1]：设（G，0）是一个有单位元的半群，若G的每一个元素都是可逆元，则称G是一个群。

下面，我们通过例题来解释一下模m剩余类作成的加群。

例1：在Zm={[0]，[1]，[2]，...，[m-1]}中规定：

[a]+[b]=[a+b]，？坌a，b∈Z

则（Zm，+）作成加群。

针对上例等价类[-a]中所含元素的特征，可作如下解释：设存在q1，r1满足：

a=mq1+r1，0

所以：

-a=-mq1-r1=-（q+1）m+（m-r），0

这说明，用m分别与a和-a作除法，它们的余数之和恰好等于m。

3 模m剩余类作成的乘群

这一部分主要讨论Zm中的元素满足什么条件才能作成乘群。

定理3[1]：在Zm={[0]，[1]，[2]，...，[m-1]}中规定：

[a]·[b]=[ab]，？坌a，b∈Z

设[0]≠[a]∈Zm，则[a]是可逆元？圳（a，m）=1。

此定理说明，Zm中的非零元素[a]是否为可逆元，取决于代表a和m是否互素，可以看出，当m是素数时，就能保证Zm中的非零元素都是可逆元，因此，利用Zm中所以的非零元素就可以作成群。比如：

例2：在Z7中，规定：

[a]·[b]=[ab]，？坌a，b∈Z

则所有非零元构成的集合{[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]}作成一个群。

证明：易知，集合{[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]}按给定的代数运算作成一个半群，[1]是单位元，并且在Z7中有下式：

[2]·[4]=[1]

[3]·[5]=[1]

[6]·[6]=[1]

成立。进而[2]，[3]，[4]，[5]，[6]都是可逆元，因此命题得证。

而当m是合数时，就不能保证Zm中的非零元素都是可逆元。看下例：

例3：在Z6中，以非零元构成的集合{[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}，不能作成一个群。

证明：因为：

[2]·[3]=[6]=[0]

而[0]不在{[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}中，所以不能作成一个群。

4 结束语

本文主要针对模m剩余类的定义和模m剩余类群的教授方法作了讨论，并对模m剩余类加群中的负元和模m剩余类乘群中逆元的存在性与求法作了重点说明。近几年来，笔者按上述方法讲解模m剩余类群，学生反映，对模m剩余类群理解的很透彻，在后面对环和域的学习中，再遇到与模m剩余类有关的问题，都感到简单易懂，不再恐惧了。当然笔者还会在此基础上进一步探索更简单、直观的授课方法，调动学生对近世代数课程的学习兴趣。

【参考文献】

[1]朱平天，李伯葓，邹园.近世代数[M].北京：科学出版社，2011：19-76.

[2]聂灵沼，丁石孙.代数学引论[M].北京：高等教育出版社，2007：8-11.

[3]李晓毅，黄凤琴.循环群中剩余类加群的讨论[J].辽宁师范大学学报，2003.7，21（3）：169-171.

[4]齐莲敏.模n剩余类加群的性质分析[J].襄樊职业技术学院学报，2009，8（4）：30-31.

[责任编辑：王楠]