把问题作为教学的出发点——由曹才翰先生的一篇评课文献说起

☉江苏省南通市通州区兴仁中学 张玉萍

把问题作为教学的出发点
——由曹才翰先生的一篇评课文献说起

☉江苏省南通市通州区兴仁中学 张玉萍

课堂导入的情境设置是教学研究的经典课题，研究相关课题的理论文献、案例文献十分丰富，特别是本世纪之初“课改”影响了课堂导入情境的研究风向，过分追求生活现实的引入新课方式，而轻视基于数学内部发展的动力即数学现实的引入新课方式，这是值得我们警惕的.适逢研读人民教育出版社在2005年推出的一批数学教育文选，笔者关注到上个世纪一些课例研究的专家评课意见，本文就从曹才翰先生评说“同底数幂的乘法”说起，阐述对“把问题作为教学出发点”的一些教学认识.

一、由曹才翰先生的评课说起

近读《曹才翰数学教育文选》（见文1），关注到曹才翰先生在上个世纪90年代初的一篇评述“同底数幂的乘法”观摩课的文献，曹先生首先概述了该课的五个环节.

（1）把问题作为教学的出发点；

（2）指导学生开展尝试活动；

（3）组织变式训练，提高训练效率；

（4）归纳结论，纳入知识系统；

（5）根据教学目标分类细目，及时回授调节.

然后就教学目标的制定、“提出问题、创设情境”、“在试探和议论中发现新知识”、“通过变式练习促进深化”、“把新知识纳入整体结构中去”展开详细评说，读来深受教益，尽管时光流逝20多年，然而该文中的诸多观点与当下数学教育“绕弯弯”还是不谋而合的.

比如，曹先生对“同底数幂的乘法”开课时教者提出“如何计算2x3·3x2”这样的问题表示了肯定，认为这是把问题作为教学的出发点，通过提出一些具有挑战性的问题或富有思考性的问题作为教学的出发点.使得开课阶段学生的思维就有了出发点，有问题才会思考.而且这道计算问题与后面单项式乘法联系在一起，是整式乘法运算中的一个环节.并认为就法则论法则，是比较孤立的.事实上，当前不少版本的教材正是这种孤立的情境创设方法，比如，某版本教材八年级上册第95页，关于同底数幂的引入问题：

问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103s可进行多少次运算？

教材安排：先让学生列式1015×103，根据乘方的意义，计算出1018.借此情境引出同底数幂的乘法法则.

问题“如何计算2x3·3x2”直接引入，简约自然，而且问题开放，学生可能会有各种不同的回答，为教师灵活驾驭课堂、有效追问、引导到幂的运算法则提供了可能.正如曹先生所评说的，这种问题引入课堂的方式，学生的思维是开放的，根据自己的知识和经验猜想解答，而不像有些教学预设，都是设好圈套让学生钻.

二、我们需要什么样的“问题”来作为教学出发点

让我们稍作辨析，“把问题作为教学的出发点”中的问题究竟是怎样的“问题”.这个概念如果没有澄清，很容易将不同的“情境问题”混为一谈，也就是《义务教育课程标准（2011年版）》中所指出的要兼顾生活现实问题、数学现实问题、其他学科现实问题.在曹先生的评课意见中，他没有直接解答应该提哪种类型的问题，其时生活现实问题还没有像21世纪之初那样盛行一时，故曹先生只是说“提出一些具有挑战性的问题或富于思考性的问题作为教学出发点”，特别是像“同底数幂的乘法”这节课的内容，就比较适合“从一些具体数学例子引入并归纳法则”.以下我们就分别列举数学现实问题、生活现实问题作为新课导入的情境设置研讨.

1.更加重视数学现实问题引入新课

由于21世纪之初的“课改”浪潮，强势“引领”生活问题联系数学新知，让数学更“有用”，更有“生活味”，随之改版的各种教材积极跟进，几乎在每个新知出现时都会以一个生活现实问题作为开课情境，比如，上文中提到的幂的运算性质用计算机的运算引入，再如平方根运算用正方形桌布的面积求边长，直线和圆的位置关系用一轮旭日初升的美妙国画或油画引入新课，等等，诸如此类，让原来逻辑连贯、前后一致的数学知识变得支离破碎，比较孤立，没有能“把新知识纳入整体结构中去”（曹才翰语）.我们欣喜地看到，全国著名特级教师李庾南老师近年来的课例（具体可参阅《中学数学》（下）大量的李庾南老师课例赏析文献），多是返璞归真，重视数学现实情境的创设和引入新课.比如，李老师讲四边形，是从三角形的定义出发，研究四边形的定义；李老师讲平方根，就舍弃了教材上的生活情境，而是从乘方运算的逆运算出发，定义了开方运算和方根的概念.此外，华东师大张奠宙教授近年来倡导的“超经验的数学”也要求我们重视数学现实问题，两位古稀之年的教育专家的实践和言说，值得我们这些后人倾听和重视.

2.恰当的生活现实问题可驱动新课

数学源于生活，服务于生活.对不少数学新概念的引入确实需要关注生活现实.比如，函数概念的抽象与引入，方程与应用问题的讲解，锐角三角函数的应用等，都要精选恰当的生活现实问题作为教学起点.同样以李庾南老师的课例来说，李老师在教学等式性质时，就充分重视生活现实问题的选用，她曾选用三道情境问题，先安排学生列出方程，然后引导学生思考这些方程如何求解，有些学生估算出方程的解之后，李老师追问他们依据，“逼”着学生回答出等式性质，这样等式性质就自然而然地从学生的嘴中“跑”出来，学生在小学五年级上学期所学过的等式性质就自然地纳入到方程与解方程这一整体结构中去了.而且在整节课教学过程中，学生经历了实际问题、抽象后列出方程、解方程、回到实际问题的解，并知道了本节课所学的等式性质是解方程的重要依据.这样的教学设计合理，情境恰当，安排科学，充分调动了所有学生的思维参与.

再比如，勾股定理起始课教学时，我们注意到江苏海安刘东升老师在文2就没有使用教材上“相传毕哥拉斯在朋友家作客，对地面砖发生了兴趣，发现了毕达哥拉斯定理及证明……”的伪情境引入，而是基于数学史考古发现，设计了古埃及人是如何结绳围出直角三角形的这样的情境问题，让这一问题驱动整个勾股定理的发现、证明，并有效关联了勾股定理的逆定理.这些生活情境有数学味，能引起学生兴趣，使其思维参与其中，是值得关注的.

三、教学出发点的“问题”如何关联前后

1.在“知识链”上选择贯穿始终的问题情境

所谓“知识链”，比如数、式一条主线下的诸多知识链接在一起.比如，在小学阶段就学习过的行程问题，用算术方法解答，到了七年级整式加减学习时会出现，到了一元一次方程学习时会有行程问题的背景，到了八年级学习函数还会关注行程问题，于是行程问题就可看成是一条知识链上的问题情境.再比如，围长方形问题，这在小学算术就有体现，用定长的绳子围成一个长方形，当长取一个值时求宽，或求面积；七年级学习时可以设长为x，用含x的式子表示宽或周长，到八年级学习时可以从函数角度研究它们的单值对应关系，并引入函数概念，到九年级还会思考“定长线段围成四边形中以正方形的面积最大”的道理所在.

2.所选“问题”的解答有多样化的处理方式

我们知道，不少生活问题、数学问题都有多样化的求解方式、理解方式，特别是有些生活情境问题既可以用算术方法解答，又可以用方程处理，还能从函数角度来解释，比如大家熟悉的鸡兔同笼问题，勾股定理的不同证明思路，行程问题等.这些问题如果能挑选出来，就可以成为教学的出发点.再比如，直角三角形斜边上的中线，在初学三角形时同学们就可以用度量、猜想的方法发现该中线的性质，但理由却说不清楚，到了全等三角形时，可以通过“倍长中线”实现问题的证明，到矩形学习时，我们将其纳入矩形的性质中可以发现它们的一致，一直到九年级学习圆时，涉及圆周角定理的推论（直径所对的圆周角为直角），学生就会发现原来不同的数学知识可以把有些性质有机统一起来，数学的奇异、和谐与一致，也可见一斑.

四、写在后面

北师大数学教育家钟善基教授在文1序言中曾提及，1980年全国中小学数学教学改革大型座谈上，对中小学数学教改问题取得一些共识，应按“求简（原传统内容）”“渗透（现代数学思想）”“增加（学生能接受的近、现代数学内容）”的原则进行改革，在教学上应充分培养与发展学生的能力，发展学生的思维能力为培养能力的核心.时光过去30多年了，我们对前辈数学教育家们的教改共识践行得如何呢？这实在值得我们在实践中不断反思和追问.

1.曹才翰.曹才翰数学教育文选［M］.北京：人民教育出版社，2005.

2.刘东升.基于HPM视角重构——“勾股定理”起始课［J］.教育研究与评论·课堂观察，2016（1）.Z