(1)
图1分布式WSN的拓扑结构
证明：
(2)
证毕
(2)无线传输能量消耗模型
参考文献对于无线通信而言，其能量消耗包括接收和发送信息的能量消耗，本文采用[12]的能量模型，如图2所示。 为了对比方便，先给出[1]建立的E-G密钥预分配方案的模型整体能量消耗，如下：
图2 无线传输能量消耗模型示意
已知节点接收一个k字节的数据包消耗的能量为Er，发送一个k字节的数据包消耗的能量为Et。
Er=lk
(3)
Et=lk+μkd4
(4)
式中，lk表示发射和接收器所消耗的能量，μkd4表示在传输过程中放大器所消耗的能量，d>100 m。
lk=kEelec
(5)
Eelec表示数据包只含一个字节时发射和接收器消耗的能量。
μk=kεmp
(6)
εmpd4为数据包只含一个字节时在传输过程中放大器所消耗的能量。
1三种密钥预分配方案简述
1.1集中式密钥预分配方案
本方案中，两个普通节点(A,B)间建立通信需向KDC发送请求，由KDC分别给两个节点分配密钥Ka、Kb。两个节点在得到密钥之后建立连接，用一次性的会话密钥KS来保护传输的数据，并通过A的主密钥Ka、B的主密钥Kb相互进行身份的验证，以保证通信的安全。同时通信过程中利用临时交互号N1、N2来确认数据在传输过程中是否被改变。具体过程如图3所示。(其中IDA、IDB分别为A、B的标志。)
图3 密钥预分配过程
1.2基于二元对称多项式的密钥预分配方案
该方案的特点在于其密钥不再由KDC分发到节点上，而是由保存在节点中的二元t次对称多项式[10]产生。其大致过程为：在已部署的节点当中选取节点A和B，节点A向B广播一个信号，B向A返回一个信号，节点A、B根据信号的内容及二元对称多项式的性质f(IDA,IDB)=f(IDB,IDA)来确定是否建立会话密钥。据此本文可以建立密钥分配模型，模型如图4所示。
图4 密钥预分配模型
2密钥预分配方案的能量消耗分析
2.1集中式密钥预分配方案能量消耗分析
根据引言中的(1)、(2)，定理1以及1.1中对于密钥集中式预分配方案的过程分析，我们推导出集中式密钥预分配方案的能耗模型。
定理2：集中式密钥预分配方案一个周期内网络消耗的总能量：
(7i+6)(Et2+Er2)+i(Et3+Er3)]}
(7)
证明：
1、 每一步骤中消耗的能量
设ID号为k1位的数据包，密钥为k2位的数据包，随机数为k3位的数据包。对应发射和接收数据时的能量消耗分别为：Et1，Er1；Et2，Er2；Et3，Er3。
每一步骤消耗的能量分别为E1n，E2n，E3n，E4n，E5n，E6n。
每次发射必对应一次接收，则每一步消耗的能量与跳数的关系为：
E1n=[2(Et1+Er1)+(Et3+Er3)]n
(8)
E2n=6(Et2+Er2)n
(9)
E3n=[(Et1+Er1)+(Et2+Er2)]n
(10)
E4n=2(Et2+Er2)
(11)
E5n=2(Et2+Er2)
(12)
E6n=2(Et2+Er2)
(13)
由1.1对于密钥分配过程的分析可得步骤4、步骤5、步骤6消耗的能量与跳数n无关。
2、不同跳数对应的能量及总能量
(1) 若第1跳的一个节点与KDC建立联系，只需直接向KDC发送数据即可。能量消耗为：
E1=Et2
(14)
则第1跳上所有节点与KDC建立一次联系的能量消耗为：
(15)
(2)若第n跳的一个节点与第(n-1)跳上的一个节点建立联系(n-1)，由式(8)～式(13)可得：
En=E1n+E2n+E3n+E4n+E5n+E6n=
[2(Et1+Er1)+(Et3+Er3)]n+6(Et2+Er2)n+
[(Et1+Er1)+(Et2+Er2)]n+
2(Et2+Er2)+2(Et2+Er2)+2(Et2+Er2)=
3n(Et1+Er1)+(7n+6)(Et2+Er2)+n(Et3+Er3)
(16)
则第n跳上所有节点与第(n-1)跳(n>1)上的节点建立一次联系的总能量消耗为：
(7n+6)(Et2+Er2)+n(Et3+Er3)]
(17)
证毕
2.2基于二元对称多项式的WSN 密钥分配方案能量消耗分析
根据密钥预分配过程的分析，我们发现在密钥建立的过程中有两个部分进行了能量消耗：计算部分和通信部分。
2.2.1通信部分的能量消耗
定理3单次密钥分发通信能量消耗E0为：
E0=2(lk1+lk2)+(μk1+μk2)d4
(18)
证明：
计算通信能量消耗需要知道通信次数及通信量。由图3可知该方案建立通信密钥需通信2次，即单次密钥建立需要发送2次数据，接收2次数据。
假设节点A向节点B广播时发送k1字节的数据包，节点B向节点A发送k2字节的数据包。那么，节点A发送信号消耗的能量为Et1接收信号消耗的能量为Er2；节点B发送信号消耗的能量为Et2，接收信号消耗的能量为Er1。
Er1=lk2
(19)
Et1=lk1+μk1d4
(20)
Er2=lk1
(21)
Et2=lk2+μk2d4
(22)
因此单次密钥建立耗能为：
E0=Er1+Et1+Er2+Et2=2(lk1+lk2)+(μk1+μk2)d4
(23)
证毕
定理4在分布式WSN的拓扑结构中，依据定理1和定理3可以得到无线传感网络通信消耗的能量为:
ECOMM=WE0
(24)
式中，W为密钥分发的次数，E0为单次密钥分发消耗的能量。
证明：
(1)每一跳消耗的能量En
1)第1跳上的所有节点和KDC之间存在初始密钥，不需要密钥的再次产生。
2)第2跳上所有节点与第1跳建立一次密钥的能量消耗为E2：
E2=w2E0
(25)
第2跳上的节点需和第1跳上的节点建立w2次通信密钥，已知建立单次通信密钥耗能为E0，总能量消耗为w2E0。
3)以后的每一跳与前一跳建立一次密钥的能量消耗规律均与第2跳一致。
4)第n跳上所有节点与第n-1跳建立一次密钥的能量消耗为En。
En=wnE0
(26)
式中，wn为第n跳上的节点和第(n-1)跳上的节点建立会话密钥的次数，E0为建立单次会话密钥的能量消耗。
(2)通信部分总耗能ECOMM
由以上分析可知：
(27)
wn为第n层节点建立会话密钥的次数，设总次数为W，且：
(28)
又因为所有节点只有第一层不需要建立通信密钥，则建立通信密钥的次数W为：
(29)
则：
(30)
证毕
2.2.2公式计算能量消耗
定理5运算一次公式所消耗的能量为：
(31)
证明：
由t次二元对称多项式定义可知二元对称多项式需运算1.5t2+4.5t-2次乘法，t次加法，即：
(32)
相对于乘法而言加法的耗能Eplus非常小，忽略不计可得：
(33)
式中，Emul为运算一次乘法所消耗的能量，
(34)
证毕
定理6在分布式WSN的拓扑结构中，依据定理1和定理5可以得到无线传感网络公式计算能量消耗为：
Ecount=2WEf
(35)
式中，W为密钥分发的次数，Ef为单次密钥分发计算消耗的能量。
证明：
由建立密钥分配的过程可知，每次加密需进行两次公式运算，即：
(36)
(2)公式计算耗能Ecount
总共需要进行W次密钥分配，即需要进行W次公式计算，可得：
(37)
根据式(29)、式(33)、式(35)可得计算部分消耗的总能量为：
(38)
证毕
2.2.3整体耗能
将通信部分消耗的能量和计算部分的能量加在一起得到总的能量消耗：
E=ECOMM+Ecount=
(39)
3实例分析
En=N[E0+(1-pr)En0+
(1-pr)n0(1+3plocal)En1+
(1-p)n0plocalpmEn2]
(40)
在确定无线传感器网络的规模下，进行能耗的分析。
在实际应用中2 000个节点算节点数比较多的情况，因此本文选取100、500、2 000个节点，来考虑这些情况的节点能量消耗，E-G方案、集中式密钥预分配方案、基于二元对称多项式的密钥预分配方案的能量消耗情况如表2所示。
表2 不同方案在节点数不同时对应的能耗(N=3)
通过表2内容的对比，可以发现对于整体而言节点数目的增加对节点的平均能量消耗并不是很大；其次，基于二元对称多项式的密钥预分配方案的能量消耗相对于其他两个方案而言要少一些。
本文在节点均匀分布密钥分发中心(KDC)在网络中心情况下，对集中式密钥预分配方案、基于二元对称多项式密钥预分配方案进行了能耗分析。在同样的条件下，建立起了密钥分配模型，根据模型推导出了能量消耗公式，对此进行了举例说明并与E-G方案进行了比较。在分析过程中本文发现与E-G方案及集中式密钥分配方案相比，基于二元对称多项式的密钥预分配方案的通信次数最少，通信耗能最少，最节能。
4结语
本文在网络拓扑结构为圆形分布，KDC在圆心的位置，传感器节点被随机均匀分配在通信区域内，节点间的通信均采用多跳的方式的情况下,对集中式密钥预分配方案、基于二元对称多项式密钥预分配方案进行了能量消耗分析。本文首先明确了能量消耗模型的适用范围，建立了网络拓扑结构模型，并在模型中做出了在无线多跳网络中，KDC到目的节点之间的路径是由多跳组成的，该路径上的中间节点充当转发节点，节点能够感知到其周围节点和KDC并有足够的能量将消息发送给KDC等设定。其次，建立了密钥预分配模型并进行了具体分析。通过对密钥预分配过程的每一步进行具体分析，并结合传感网络能量消耗模型，得到了密钥预分配过程中每个步骤消耗的能量。再将每一步的能量消耗与整个传感器网络相结合，可推出整体的能量消耗公式。最后，本文据此对基于二元对称多项式的密钥预分配方案、E-G方案和集中式密钥预分配方案进行了仿真分析及方案对比分析，结果表明：基于二元对称多项式的密钥预分配方案的通信次数要少于集中式密钥预分配方案和E-G方案，因此在密钥预分配过程中基于二元对称多项式的密钥预分配方案的通信耗能最少，与此同时，其计算消耗的能量远小于通信消耗的能量，因此基于二元对称多项式的密钥预分配方案的能量消耗最少，最节能。
[1]王秋华，陈惠芳，谢磊等.无线传感器网络一种改进的随机密钥预分配方案[J].传感技术学报，2010,23(10):1494-1500.
WANG Qiu-hua, CHEN Hui-fang, XIE Lei, WANG Kuang. Improved Random Key Pre-Distribution Scheme for Wireless Sensor Networks[J]. Chinese Journal of Sensors and Actuators, 2010,23(10): 1494-1500.
[2]YU Ding, KUN Mu. A Multi-Key-Pool Key Pre-Distribution Scheme for Wireless Sensor Networks[C]. IEEE China, 2011: 190-195.
[3]Tanuja R, Souparnika P Arudi,Manjula S H, Venugopal K R,Patnaik L M. TKP:Three Level Key Pre-Distribution with Mobile Sinks for Wireless Sensor Networks[C]. IEEE India, 2015: 1-5
[4]CHAN H, Perrig A, SONG D. Random Key Pre-Distribution Schemes for Sensor Networks[C]. Proceedings of IEEE Symposium on Research in Security and Privacy. Berkeley: IEEE Computer Society, 2003:197-213.
[5]霖骁，吴蒙．无线传感网分布式密钥分配方案综述[J].电视技术，2015，39(03)：77-80.
LIN Xiao, WU Meng. Survey of Distributed Key Distribution on WSN[J]. Video Engineering，2015，39(03)：77-80.
[6]斯托林斯.密码编码学与网络安全-原理与实践[M].王张宜，杨敏,杜瑞颖,译.北京：电子工业出版社.
William Stallings. Cryptography and Network Security Principles and Practices[M].WANG Zhang-yi，YANG Ming, DU Rui-ying,Translated.Beijing:Publishing House of Electronics Industry.
[7]谭莉莉, 高仲合.基于多项式的WSN密钥管理方案研究[J].通信技术,2012,45(12):71-73.
TAN Li-li, GAO Zhong-he. Key Management Scheme based on Symmetric Polynomia for Wireless Sensor Network[J]Communications Technology,2012,45(12):71-73.
[8]CHEN Chin-ling, Tsai Yu-ting, Castiglione Aniello, Palmieri Francesco.Using Bivariate Polynomial to Design a Dynamic Key Management Scheme for Wireless Sensor Networks[J]. Computer Science anf Information Systems, 2013, 10(2): 589-609.
[9]常新峰，孙亚南.基于多项式无线传感器网络密钥预分配方案[J].计算机与数字工程，2014,42(11):2117-2201.
CHANG Xin-feng,SUN Ya-nan.A Key Pre-Distribution Scheme based on Polynomial for Wireless Sensor Networks[J].Computer & Digital Engineering，2014,42(11): 2117-2201.
[10]CHANG Xin-feng, SUN Ya-nan. A Key Pre-Distribution Scheme based on Polynomial for Wireless Sensor Networks[J].Computer & Digital Engineering，2014,42(11): 2117-2201.
[11]杨建利，廖巍，袁志民.基于二元多项式的短波自组网密钥预分配方案[J]. 计算机应用研究,2015,32(02)：503-506.
YANG Jian-li, LIAO Wei, YUAN Zhi-min. Survey of Security Authentication Scheme for Wireless Sensor Networks[J].Application Research of Computers, 2015, 32(02)：503-506.
[12]Singh Sukhdeep, Saxena Navrati, Roy Abhishek, Kim, HanSeok. Energy Efficiency in Wireless Networks - a Composite Review[J]. IETE Technical Review, 2015, 32(2):84-93.
程璇晔(1994—)，女，本科，主要研究方向为光电信息处理；
张晓堃(1994—)，女，本科，主要研究方向为光电信息处理；
吴援明(1966—)，男，博士，电子科技大学光电信息学院副院长、教授，主要研究方向为光电信息处理。
Energy-Consumption Analysis of WSN Key Pre-Distribution Scheme
CHENG Xuan-ye, ZHANG Xiao-kun, WU Yuan-ming
(School of Optoelectronic Information,University of Electronic Science and Technology
of China,Chengdu Sichuan 610054,China)
Abstract：In WSN (Wireless Sensor Network), different key pre-distribution schemes would result in different energy consumptions of the whole network and of each sensor node. Insufficient energy of sensor,may,in a certain degree,restrict the development and application of WSN key pre-distribution. Energy consumption of centralized key distribution scheme and key distribution scheme based on symmetric bivariate polynomial is analyzed, and the two models of energy consumption are built up under the network topology in which KDC(Key Distribution Center)is in the center of the network and nodes are uniformly distributed around it.In addition,theoretical analysis and simulation verification are done, and comparative analysis with E-G scheme indicates that the key distribution scheme based on symmetric bivariate polynomial consumes the least energy.
Key words：WSN; centralized key pre-distribution scheme; key distribution scheme based on bivariate symmetric polynomial; energy consumption
作者简介：
中图分类号：TP393
文献标志码：A
文章编号：1002-0802(2015)12-1415-06
收稿日期：2015-07-09；修回日期：2015-10-25Received date:2015-07-09；Revised date：2015-10-25
doi:10.3969/j.issn.1002-0802.2015.12.019
