多重网格法在直流电法中的正演研究

蒋亮++郭轩++王鹏瑞

摘要：自从多重网格法于20世纪60年代提出后，经过40多年的研究和发展，有了完整的理论体系，算法趋于成熟，被认为是当今数值计算领域高效算法之一。以其收敛速度快，计算精度高等优点在勘探地球物理领域得到一定应用。本文从多重网格法的基本思想出发，介绍了多重网格法的基本思想及理论公式。并将多重网格法应用到温纳装置测量的正演响应中，应用多重网格法进行正演模拟的温纳装置，可以直观准确的反应出模型的异常区的大小和方向。能够给直流电法的正演研究提供一定的准确性。

关键词：多重网格；温纳；限制算子；插值算子

1.多重网格法的发展现状

多重网格法简称MG，是数学家Fedorrenko于20世纪60年代最早提出的，直到Brandt关于“边值问题多重网格适应解”的文章发表后，多重网格法才开始得到广泛的关注和全面研究[1]。多重网格法是目前近乎最优的算法之一，有其固有的特点：收敛速度跟网格的大小无关，而且这一特性同样适应于求解复杂问题。多重网格法经过近30年的研究和发展，有了完整的理论体系，算法趋于成熟，在流体力学，计算电磁学，波动方程等领域都有所应用，是当今数值计算领域常用的算法之一。近二十年也逐渐的应用于地球物理领域中。

2.多重网格法的基本思想及理论公式

多重网格法其主要思想是在不同的网格层中，可以使不同频率的误差分量因网格间距的不同逐渐被衰减掉[2]。首先把以当前网格为基础的低频分量限制到比较粗的网格上，这样就会使原本看起来比较光滑的的低频分量在粗网格上又重新跳动振荡起来，然后根据松弛迭代的方法对其进行处理，这样会使在粗网格上误差又变得光滑起来，继续将其限制到更粗的网格上进行光滑迭代，重复以上过程直至最粗限度的网格。到最粗的网格结束后将其每层网格迭代光滑后的误差经线性插值后再逐级返回至细一层网格，将这些返回后的误差对方程解进行校正，就可以得到更为精确的解，至此一次多重网格的循环结束[3]。

以2层网格为例进行理论推导：

假设存在一个均匀剖分的两重网格如图，细网格的步长是h，粗网格的步长是H，H=2h，用线性方程表示剖分最细的网格层：

图1 二维模型均匀剖分图

Ahuh=fh（1）

Ah是系数矩阵，fh是右端项，uh是方程的精确解。

在细网格层上进行1次松弛迭代，uh1是迭代过后的近似解，uh1和uh间高频分量因迭代而衰减。

uh-uh1=eh1是误差向量，rh1就是残差向量

Ah（uh-uh1）=Aheh1=fh-Ahuh1=rh1（2）

将（2）式近似到粗网格上，AHeH=rH1（3）

由细到粗需要加入限制算子RHh（线性算子），使rH1=RHhrh1（4）

求解（3）得到eH1，加入插值算子PhH（线性算子），

得到eh1的近似解e1h，则e1h=PhHeH1（5）

可以方便的计算出公式（4）和（5）。最后就可以得出修正后的近似解h1

h1=uh1+e1h（6）

这是2层V循环的理论公式，亦可以看成任意相邻网格层间的转换公式。

在上述求解过程中，限制和插值算子是其重要组成，常用的是线性插值及完全加权限制，因是均匀剖分，故其常用的9点限制算子和插值算子分别是：

RHh=1161811618141811618116，PhH=121242121（7）

3.MG法三维响应模拟

将多重网格法应用于以有限差分为基础的高密度正演中，以温纳装置对典型的地下异常体进行测量，电流都是I=1A，电极距为5米，测线总长度100米，则测区范围一共有21个电极。网格剖分为49×49×31，剖分模式为不等距剖分，中间细网格，边界剖分为指数增长的网格。构建三维模型

3.1不同测线方向的异常响应

图2 不同测线分布图

为了突显正演的响应，在用温纳测量时，从不同的倾角进行测量，如图2θ是测线与X轴的夹角，（θ0=0；θ1=30；θ2=45；θ3=60；θ4=90），在用温纳装置测量时，会得到63个测点数据，测得地下深度42.5米；在用偶极-偶极测量时，会得到171个测点数据，测得地下深度47.5米。以低阻异常为例，异常体的电阻率为1Ω·m，围岩电阻率为100Ω·m，异常体埋深为Z方向3到10米，X方向为-10米到10米。

当地下异常体是一个沿Y方向延伸的二度体，通过温纳装置从不同角度的到的视电阻率图（图3）。

图3 Y=100：温纳不同角度视电阻率图

利用温纳装置测量时，当θ0=0°时测线垂直横穿过低阻异常体，此时可以得到一个范围比较小可近似看成倒梯形的低阻异常范围，实际范围X方向比较准确在模型范围内，Z方向向下延伸比较多；当θ0=30°、45°、60°时同样可以得到异常区域范围X方向逐渐变大，直至90°时通过图e可以看到，视电阻率图所呈现的是一个地下均匀平行的两层介质。

3.2异常体埋深的响应

前面得到了测线穿过异常体的各种情况，本节将研究当模型参数不变时，测线不穿过异常体，并与异常体垂直距离不等时的响应特征。温纳的装置参数都不变，当异常体垂直距离测线Y=0、15、35米时如图4。

经过两种装置测量后，得到图5，如图所示，随着与测线垂直距离的不断加大，正演响应均有一定变化。当Y=0m时，相当于垂直横穿过异常体，与5.1中θ=0时情况相同；当Y=15m时，异常区域均有向下的趋势，但是X方向范围变化不大；当Y=90m时，异常区域都为位于图片的下方，几乎脱离视电阻率图。总结来说，当异常体与侧向越近时，响应特征越好，随着距离的增加，异常响应会逐渐向下，最后移出测量范围。

图4 不同埋深时示意图

图5 不同埋深时温纳装置视电阻率图

结论

在应用多重网格法进行迭代计算的基础上，用温纳装置对地下典型的异常体模型进行正演模拟，通过对正演响应的分析发现，地下存在二度体和异常体Y的长度变短时的情况下，从不同角度进行测量时响应的结果差别很大，只有当测线垂直穿过异常体时，响应结果最好；当异常体与测线距离不同时，距离越近，正演响应越接近真实模型。以上两种正演响应均能较好的反应出不同条件下的模型特征，相信多重网格法未来在物探领域应该有更好的发展。

参考文献：

[1]Alcouffe R.E.，Brandt A.，Dendy J.E.，and Painter J.W..The multi-grid method for the diffusion equation with strongly

[2]乔中林.直流电法三维正演多重网格算法研究[D].北京：中国地质大学，2007.

[3]鲁晶津.地球电磁三维数值模拟的多重网格方法及其应用研究[D].合肥：中国科学技术大学，2010.endprint