时标上一类具有振动系数的三阶半线性时滞动力方程的振动性分析

郭丽娟，朱维钧，王俊俊

(平顶山学院数学与信息科学学院，河南 平顶山 467000)



时标上一类具有振动系数的三阶半线性时滞动力方程的振动性分析

郭丽娟，朱维钧，王俊俊

(平顶山学院数学与信息科学学院，河南 平顶山 467000)

摘要：研究时标T上具有振动系数的三阶半线性时滞动力方程的有界振动性。利用算子和积分技巧给出了该类方程不存在A型解(或B型解)的判定条件，拓展了一些已知的三阶动力方程振动性的结果.

关键词：振动系数；有界振动性；A型解；B型解；动力方程；时标

1引理

时标上的动力方程不仅能够统一微分方程和离散方程，还能揭示更为复杂的动力系统，其振动解和非振动解问题在近年受到广泛关注[1-8]。陈大学[1]利用Riccati代换给出了时标上一类二阶非线性动力方程的有界振动性准则，罗李平等[2]利用算子和积分技巧给出了一类三阶非线性时滞微分方程不存在A型解(或B型解)的判定条件。 本文利用文献[2]中的技巧讨论方程

q(t)f(t,y(t-δ))=0，

(﹡)

其中t∈T0=[tx,∞]∩T,T为任意时标，且supT=∞。设γ为奇正整数的商数且γ≥1,τ和δ是正常数，且τ(t)=t-τ

设以下条件在本文中成立

(H2)f∶T×R→R是一个连续函数使得uf(u,f)>0,u≠0，并且存在一个定义在时标上的非负函数

q(t)，使得|f(u,t)|≥q(t)|ur|;

定义算子

L0y(t)=y(t)+p(t)y(t-τ),L1y(t)=r(t)[L0y(t)]Δ，

则方程(*)可化简成

L3y(t)+q(t)f(t,y(t-δ))=0。

引理1.1若方程(*)最终无振动解，则(*)的有界解只有两种情况：

A型：y(t)Liy(t)>0,i=0,1,2,y(t)L3y(t)<0，

B型：y(t)L0y(t)>0,y(t)L1y(t)<0,y(t)L2y(t)>0,y(t)L3y(t)<0。

证明：由假设，y(t)最终是(*)的非振动有界解，则不妨设t1>t0>T,满足y(t)>0。显然，L0y(t)>0，否则

L0y(t)=y(t)+p(t)y(t-τ)<0，

也即

p(t)y(t-τ)=L0y(t)-y(t)<0。

又y(t-τ)>0，则p(t)<0，此与p(t)是振动函数矛盾，则L0y(t)>0。

又由

L3y(t)=-q(t)f(t,y(t-δ))≤-q(t)m(t)yβ(t-δ)<0，

事实上有L2y(t)>0，否则，设L2y(t)<0,∃t1,满足t>t1时，有

则诱导出

也即

显然也有

也即

L1y(t)最终符号确定，两边同时从t2到t积分，有

可诱导出

则∃t3>t2，满足L1y(t)<0,t>t3,也即

两边同时从t3到t积分

则有

矛盾。因而∃t≥t1,满足L2y(t)>0,则L1y(t)最终符号确定。

引理1.2若方程(*)最终无振动解，且(*)有A型解，则有

证明 由于L3y(t)<0，则有

则诱导出

两边同时从t1到t积分

2方程(*)不存在A型解的条件

证明设y(t)是(*)的A型有界非振动有界解，由引理1.2有

则

∀M∈(0,1),满足y(t)=L0y(t)-p(t)y(t-δ)>ML0y(t)，

则有

L3y(t)=-q(t)f(t,y(t-δ))≤-q(t)m(t)yβ(t-δ)

则有

则显然定理成立。

证明设y(t)是A型有界正解，则∃t1,满足t>t1， 有y(t)>0 ，

两边同时从t2到τ(t)积分

则有

令t→∞，与条件矛盾，则(*)无A型解。

3方程(*)不存在B型解的条件

证明设方程(*)有B型有界正解y(t)，由于L1y(t)单调不减，则∃t1,满足

令X(t)=-L1y(t)>0，则

∀M∈(0,1)

则有当u<τ时，有

则有

可推得

两边对u从σ到τ积分

也即有

令τ=s(t),σ=ξ(t),则有

令Z(t)=-a(t)(XΔ(t))aγ>0,由引理1.2有

=ML0y(ξ(t))-ML0y(τ(t))≥-ML0y(τ(t))。

则诱导出

再由u<ξ(t),L1y(u)

化简得

由上式有

两边从ξ(t)到t积分有

又

则有t充分大时，

再由定理条件可知

矛盾。 定理证毕。

参考文献：

[1]陈大学.具有振动系数的二阶非线性中立型时滞动力方程的有界振动性[J].数学物理学报，2013，33A(1)：98-113.

[2]罗李平, 俞元洪, 曾云辉.三阶非线性时滞微分方程振动性的新准则[J].应用数学和力学，2013，34(9)：941-947.

[3]王军华 ,王俊俊.时标上一类三阶中立型动力方程的振动性[J].郑州大学学报:工学版，2010，31(4)；121-123.

[4]王俊俊, 郭丽娟.测度链上一类三阶半线性中立型时滞动力方程的振动准则[J].系统科学与数学，2013，33(7):848-853.

[5]王俊俊, 刘展.时标上一类三阶中立型动力方程的振动准则[J].数学的实践与认识，2013，43(4):265-268.

[6]SAKERSH,AGARWALRP,O′REGAND.Oscillationofsecond-orderdampeddynamicequationsontimescales[J].JMathAnalAppl, 2007，330 (2):1317-1337.

[7]ERBEL,HASSANTS,PETERSONA.Oscillationcriteriafornonlineardampeddynamicequationsontimescales[J].AppliedMathematicsandComputation, 2008，203(1):343-357.

[8]HASSANTS.Oscillationsofthirdorderdelaydynamicequationsontimescales[J].MathComputModelling， 2009，49 (7/8): 1573-1586.

Boundedoscillationanalysisforatypeofthird-orderhalf-lineartime-lag

dynamicequationswithoscillatingcoefficientsintimescale

GUOLi-juan,ZHUWei-jun,WANGJun-jun

(SchoolofMathematicsandInformationScience,PingdingshanUniversity,Pingdingshan467000,China)

Abstract∶We address the bounded oscillation criteria for third-order half-linear time-lag dynamic equations in time scale.We also present determinant conditions that A-type (or B-type) solutions do not exist in such equations with operator and integral and extend some known results for the oscillation of third-order dynamic equations.

Key words∶oscillating coefficients; bounded oscillation;A-type solution;B-type solution; dynamic equations; time scale

中图分类号：O175.12

文献标识码：A

文章编号：1002-4026(2015)04-0073-06

作者简介：郭丽娟(1985 -)，女，助教，硕士，研究方向为应用数学。Email: glj5916@126.com

基金项目：河南省自然科学基金(2010A110001)

收稿日期：2014-11-03

DOI:10.3976/j.issn.1002-4026.2015.04.014