秩亏自由网序贯平差在变形监测中的应用

张 磊 沈 震 高 山

（1.安徽理工大学，安徽 淮南232000）

1 引言

在实际的生产中很多情况下数据的采集都是分期进行的，如控制网的改扩建、分期布网以及分期完成的变形监测等。那么针对分期采集的数据采取什么处理方式成了一个亟需解决的问题，采用传统的整体平差方法显然会大大增加工作质量进而影响工作效率，测量平差与误差理论得到了很大的发展，并在经典平差的基础上提出了序贯平差（逐次相关间接平差）。序贯平差利用前期平差结果，达到与前期一起整体平差同样的结果。针对无起始数据的情况也提出了秩亏自由网平差原理与方法，解决了经典自由网平差不适合处理的工程变形监测、地壳变形监测网、地表沉陷和GPS等的数据处理。那么当变形监测分期完成时，就需要结合秩亏自由网平差和序贯平差两种数据处理方法，本文针对这一情况总结了秩亏自由网序贯平差方法［5］。

2 秩亏自由网伪观测平差原理

在经典测量平差中，必须有足够的起算数据，即以已知的起算数据为基础，将控制网的基准固定在已知数据上，所以经典平差的基准为固定基准。当控制网中没有必要的起算数据或者起算数据不足时，称为秩亏自由网。秩亏自由网的法方程系数阵N奇异，即N=0，故N的凯利逆N-1不存在，法方 程有无 穷解［1］［2］。下 面将讨论如何解决这个问题。

其中R（A）=t＜u，d=u-t，相应的误差方程为

秩亏自由网平差的函数模型是具有系数阵秩亏的间接平差模型，随机模型仍是

按最小二乘原理，在VTPV=min下，由（2）式可组成法方程为

基准条件，也就是所选的u个参数间存在的d个约束条件，这就是基准秩亏所致，在变形监测布设水准网中d=1，即u=t+1，有一个基准条件。

附加的基准条件（5）应与法方程（4）线性无关，等价于满足下列条件

因N=ATPA，故亦有

联合解算式（2）与（5），即是附有限制条件的简介间接平差问题，在

条件下得法方程为

在水准网中满足式（7）和R（S）=d的S一组基础解，其具体形式可取为

整理可得秩亏自由网平差公式：

单位权中误差为

3 序贯平差原理

序贯平差也叫逐次相关间接平差，它是将观测值分成两组或者多组，按组的顺序分别做相关的间接平差，序贯平差有一套规律很强的递推公式。便于计算机工作，用途十分广泛［1］。

将观测值L分成Lk-1和Lk，权阵分别为Pk-1和Pk，设这两组观测值不相关，则有

而n=nk-1+nk，nk-1＞t，t为必要观测数。

当参数之间不存在约束条件时，其误差方程为

将式（15）单独平差，得

将式（15）、（16）联合结算，可组成法方程为

其解为

由式（18）上式为

故式（21）为

由矩阵反演公式知

J阵称为卡尔曼滤波增益矩阵或称序贯平差的增益矩阵。

4 工程实例

安徽矿某矿区沉陷区布设如图1所示水准网，第一期观测了h1=0.478m、h2=-1.283m、h3=-0.638m、h4=0.531m、h5=0.910m，第 二期观测了h6=-1.641m、h7=-0.737m、h8=-0.204m。路线长s1=2km、s2=2km、s3=2km、s4=4km、s5=4km、s6=4km、s7=2km、s8=4km，以4km观测高差的权为单位权。设HA=x1、HB=x2、Hc=x3、HD=x4、HE=x5、HF=x6，根据以往观测经验取个点近似高程为x1=20.187m、x2=20.669m、x3=19.384m、x4=18.743m、x5=19.276m、x6=18.543m，求X和QXX。

误差方程为

第一次平差可得

由题意可知，第一期水准网5个未知点，故

联合结算式（27）、（29）、（30）、（31）、（32）以及式（33）可得

第二次平差误差方程为

由式（34）、（35）组成法方程

由题意知第二期观测误差方程为

故有

上述结果联立式（36）可得

由题意可知，第二期水准网6个未知点，故

利用伪观测法秩亏自由网平差原理，设

则

5 结论