一个整系数多项式的整数解

肖　凌，曹永林1

(1. 山东理工大学 理学院， 山东 淄博 255049; 2.淄博理工学校 汽修系， 山东 淄博 255100)

一个整系数多项式的整数解

肖凌1,2，曹永林1

(1. 山东理工大学 理学院， 山东 淄博 255049; 2.淄博理工学校 汽修系， 山东 淄博 255100)

摘要：作为数论中一个熟知结论的推广，利用Gauss-Wilson定理和中国剩余定理，对任意正整数n，确定出了多项式+1模n的全部整数根，进而对任意整数x刻画出了其取值情况.

关键词：原根；中国剩余定理；整数的剩余表示

收稿日期：2015-01-09

通信作者：

作者简介:肖凌，女，autumndaisy@163.com；曹永林，男，ylcao@sdut.edu.cn

文章编号：1672-6197(2016)01-0026-03

中图分类号：O156.1

文献标志码：A

Abstract:As a generalization of a wellknown result in elementary number theory, we investigate the zeros of the polynomial

Thevalueandzerosofsomepolynomialwithintegercoefficients

XIAOLing1,2，CAOYong-lin1

(1.SchoolofScience,ShandongUniversityofTechnology,Zibo255049,China;

2.AutoRepairDepartment,ZiboSchoolofTechnology,Zibo255100,China)

inthisnote.Furthermore,wegiveacompleteaccountofthevalueofitbyChineseRemainderTheoremandGauss-WilsonTheorem.

Keywords:primitiveroot;chineseremaindertheorem;modularrepresentationofintegers

定理1[1]设p为给定的素数，则对任意整数x恒有同余式

1预备知识

或

引理1设m，n是互素的两个正整数，则有

推论1 设m，n是互素的正整数，则有

2主要结果及其证明

1)如果x与pα互素，则必存在ri，1i使得且根据欧拉定理知，此时从而

2)如果x与pα不互素，则对于模pα缩系中任意ri有

(1)

(2)

由式(1), (2)知

(2)n=2α0，α0>2；

其中pi为奇素数，αi>0，i=1,…,k，为了叙述方便，令p0=2.我们有

定理3设正整数n不具有原根，沿用上面的记号，对任意整数x，令

则有如下剩余表示

由推论1知

(3)

综合上述结论，容易得到：

例当n=100=22×52时，令m1=22，m2=52，有

M1=25,M1′=1；M2=4,M2′=19.

参考文献

[1]柯召，孙琦. 数论讲义：上册[M]. 2版,北京: 高等教育出版社，2010.

[2]AyahA,MelanieMW,Countingpolynomialsoverfinitefieldswithgivenrootmultiplicities[J].JournalofNumberTheory, 2014, 136: 392-402.

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[4]HardyGH,WrightEM.Anintroductiontothetheoryofnumbers[M]. 6thed. 北京： 人民邮电出版社，2009.

[5]DicksonLE.Historyofthetheoryofnumbers:Volume1[M].NewYork:ChelseaPublishingCompany, 1952.

(编辑：姚佳良)