关于不完全Beta函数的注记
2016-01-15 08:39蒋亚萍孙中锋秦惠增
山东理工大学学报（自然科学版） 2016年1期
蒋亚萍， 孙中锋， 秦惠增
(山东理工大学 理学院， 山东 淄博 255049)
关于不完全Beta函数的注记
蒋亚萍， 孙中锋， 秦惠增
(山东理工大学 理学院， 山东 淄博 255049)
摘要：Özçag E等运用Neurix极限将不完全Beta函数Bx(a,b)中a,b的取值范围扩展到了整个实数域，并给出了a,b为负整数时不完全Beta函数的显示表达式，其结果发表于Journal of Mathematical Analysis and Applications. 但是，我们认为其推导过程中存在错误，在此指出错误之处，并给出相应的更正结果.
关键词：特殊函数； 不完全Beta函数； Neurix极限； 实数域
收稿日期：2015-04-22
基金项目：国家自然科学基金项目(61379009;11226315)
通信作者：
作者简介：蒋亚萍，女，jiangyapingg@163;秦惠增，男，qinhz000@163.com
文章编号：1672-6197(2016)01-0018-03
中图分类号：O172.2
文献标志码：A
Abstract:Özçag E et al. extended the incomplete beta function Bx(a,b) to all real values of a,b by using the neutrix limit, which was published in “ Journal of Mathematical Analysis and Applications”. Specially, the authors achieved the explicit expression of Bx(a,b) for negative integer values of a or b. In this paper, we point out that there are some errors in their deduction progress and study the corresponding correction.
A note about the incomplete Beta function
JIANG Ya-ping， SUN Zhong-feng， QIN Hui-zeng
(School of Science, Shangdong University of Technology, Zibo 255049, China)
Key words: the special function; the incomplete Beta function; Neutrix limit； real values
通常，不完全Beta函数被定义为[1]
a,b>0,0 (1) 不完全Beta函数被广泛用于统计学、精算学、经济、金融、生存分析、通信等学科上,因此,Özçag E等在文献[2]中使用Neutrix calculus[3-5]扩展a,b的取值范围，使不完全Beta函数具有更广的适用范围是非常有意义的.然而,我们发现文献[2]中的部分结果是错误的.本文指出文献[2]中的错误,并给出相应的更正结果. 1问题 在文献[2]中，Özçag E等利用下面的Neutrix极限 0 (2) 将不完全Beta函数中的a,b的取值范围扩展到了整个实数域上.进一步地,利用Neutrix极限 lnmtlnn(1-t)dt,0 (3) 1)当n=1,2,…时, (4) 见文献[2]中的式(10). 2)当n=1,2,…时， (5) 见文献[2]中的式(13). 3)当m=n+1,n+2,…,n=1,2,…时， Bx(-n,m)= (6) 4)当m,n=1,2,…时， Bx(-n,-m)= (7) 下面我们指出出现错误结果1)～4)的原因，并给出正确的结果. 2主要结果 定理 1 Bx(0,n)= (8) 证明根据式(2)及Neutrix极限,可以得到 (9) 定理 2 n=1,2,… (10) 证明按照定理1的证明方法, 有 (11) 结合式(11)和下面的等式 k=1,2,…,n, (12) 可知式(10)成立. 导致文献[2]中式(13)错误的原因是使用了下面这个错误的结果 [(k-1)!]2 (13) 应被更正为式(12). 定理 3 Bx(-n,-m)= φ(m+n)] (14) 式中m,n=1,2,…. 证明对不完全Beta函数的定义即式(2)分部积分,可得 Bx(-n,-m)= (15) 利用 以及Neutrix极限,就有 (16) 反复利用递推公式(16),得到 Bx(-n,-m)= (17) 结合式(10)和式(17)得式(14). 比较式(14)和式(7)可知，式(7)是不正确的, 其原因也是在证明过程中使用了错误的结果式(13). 定理 4 Bx(-n,m)= (18) 其中 In,m(x)= (19) n=1,2,…. 证明按照定理3的证明方法,可得 (20) 反复利用递推公式(20),得到 Bx(-n,m)= (21) 结合式(20)和式(21)可知式(18)成立. 比较式(6)和式(18)可知, 式(6)是不正确的.式(18)可以写成下面更简单的形式. 定理5当m=n+1,n+2,…,n=1,2,…时，下面的恒等式是成立的. (22) 证明由二项式定理可知, 由此可得式 (22). 参考文献 [1] Gradshteyn I S,Ryzhik I M. Tables of integrals,series,and products[M]. 6th ed. San Diego:Academic Press,2000. [3] Fisher B,Kuribayashi Y. Neutrices and the Beta function[J]. Rostock Math Kolloq,1987,32:56-66. [4] van der Corput J G. Introduction to the Neutrix calculus[J]. J Anal Math,1959, 7(1):281-398. [5] Jack Ng Y,van Dam H. Neutrix calculus and finite quantum field theory[J]. J Phys A,2005,38:317-323. (编辑：郝秀清)
