旋转变换在初等几何解题中的应用

邓敏++吴英福

摘 要：随着新课标的推行与实行，旋转变换已纳入中学教材之中。本文通过典型例题探讨了利用旋转变换构造全等图形解决平面几何中的问题，特别是，在解决关于等腰三角形、等边三角形、正方形等发挥了重要作用。

关键词：旋转变换；全等三角形；初等几何

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）01-084-02

人们在日常生活中经常遇到有关图形变换的问题，全日制义务教育数学新课程增加了“图形与变换”这一部分知识的内容。学生在解决平面几何问题时，作辅助线常常无从下手，若应用旋转变换的思维更容易找到作辅助线的突破口。特别是当题目涉及到等腰三角形、等边三角形、正方形等问题时，通常将图形进行旋转变换作图，将分散的元素集中或将有关条件联系起来构造图形解决有关线段、角、面积等问题，这样能更快更容易解决问题。所以旋转变换在解析几何中扮演着一个很重要的角色，甚至起着不可替代的作用。

一、旋转变换的定义及性质

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转（circumrotate），这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。

经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度。任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角。对应点到旋转中心的距离相等。

旋转变换的主要性质有：（1）在旋转变换下，两点之间的距离不变；（2）在旋转变换下的两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角。

二、旋转变换在初等几何解题中的应用

1、正三角形类型

在正三角形ABC中，P为 内的一点，将AB绕A点按逆时针方向旋转60°，得到 。经过这样的旋转变换，将图2-1-1（1）中的PA、PB、PC三条线段集中于图2-1-1（2）中的 中，此时 也为正三角形。

图2-1-1

例：如图2-1-2，P是等边三角形ABC内一点， =2， = ，PC=4，求 ABC的边长。

分析：设法将已知的三条线段放在同一个三角形中，为此将 BPA绕点B按逆时针方向旋转60°到 BMC的位置，连接 ，此时得到的 为等边三角形，从而将已知的三条线段转化到 中，然后证明 是直角三角形，再证明 为直角三角形，即可得证。

解：将 绕点B按逆时针方向旋转 到 的位置，则 = ， =2， = ，

从而 为等边三角形， ，

在 PCM中， ，得 ， 图2-1-2

因为 ，

所以

，

即 ， ，

答： 的边长等于 。

说明：对于等边三角形，我们常常将等边三角形的一边所在的某个三角形进行旋转变换，例1就是将 绕点B按逆时针方向旋转 到 的位置，使PA、PB、PC三条线段集中于 中，此时 为正三角形，从而简化了题的难度。

2、等腰直角三角形类型

在等腰直角三角形 中， ，P为 内一点，将 点按逆时针方向旋转 ，得到的 。经过这样的旋转变换，在图2-2-1（2）中的一个 为等腰直角三角形。

图2-2-1

例：已知，在 ABC中，AC=BC， BCA= ，P、Q在AB上， = （如图2-2-2），求证： 。

分析：设法将结论中的三条线段转移到同一个三角形中，为此将 绕点C按逆时针方向旋转 。

证明：将 绕点C按逆时针方向旋转 的位置，则 ， ， ，已知 ，

得： ，

，

由于 得 ， ， ，

故 。 图2-2-2

说明：对于等腰直角三角形，常常将等腰直角三角形的一腰所在的三角形，进行旋转变换作图。例如上题就是将 绕点C按逆时针方向旋转 的位置，使AP、PQ、BQ三条线段集中于 中，此时 为直角三角形，从而简化了题的难度。

3、正方形类型

在正方形ABCD内有一点P，将 ，得到 。经过旋转变换，将图2-3-1（1）中的PA、PB、PC三条线段集中于图2-3-1（2）中的 中，此时 为等腰三角形。

（1） （2） 图2-3-1

例：如图2-3-3，P是正方形ABCD内一点，PA=2，PD=1，PB=3，求 APD的度数。

分析：通过旋转 ，要求 APD只需求 ，故先求出 ，即求出 。

解： ，则 图2-3-3

， ， ，

， ， ，由勾股定理的逆定理，得 ，从而 .

说明：在正方形中，往往通过旋转将角进行分割，分别求各角的度数，再求出各角之和。

4、三角形与圆混合类型

如图2-4-1（1），正三角形ABC内接于⊙O，D是劣弧BC上任意一点，将 绕A点按顺时针方向旋转 ，经过旋转变换，图形2-4-1（1）中的DC与BD组合在一条直线上，见图2-4-1（2），此时 为正三角行，将四边形转化为三角形。

（1） （2）

图2-4-1

例：如图2-4-2，正三角形ABC内接于圆⊙O，P劣弧BC上任意一点，PA=2，则四边形ABPC的面积为多少？

（1） （2）

图2-4-2

分析设法 将四边形 的面积转化为 的面积。为此将 ，使得AC与AB重合，即由图2-4-2（1） 2-4-2（2）， ，从而得解。

解： 则

， ，由于四边形内接于⊙O，得 ， ， ，

即 ，且PA=2， ，

答：四边形 的面积 。

说明：对于圆与邻边相等的四边形，通过旋转能将四边形转化为三角形，从而将问题简化。

三、总结

旋转变换思想在几何中有着广泛的应用，这种数学思想体现了思维的多向性。在学习旋转变换时，不仅要熟悉其定义，即：把一个图形绕着某一个点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，还要熟悉其性质：旋转前后的图形全等。从以上例子可以看出，运用旋转变换，有时可以很方便地解决某些几何问题，特别是涉及到等腰三角形、正三角形和正方形等一类问题的求解。应用旋转变换从而使图形中的边角关系更加清楚，图形简明，所以旋转变换容易被学生接受，体会到添辅助线是有规律可循，能够大大地简化题的难度。