排列组合中的几何问题和图形问题

朱海东

一、几何问题

在几何图形中涉及到排列组合的问题主要有三

大类：有关空间四面体；平面三角形；两直线的交点.

解决这些问题，主要的思路是：充分利用几何图形的特点，排除不符合题意的情况，对所求问题进行分

类.

问题1 （1）求以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体的个数？

（2）求以正方体的顶点为顶点的四面体有多少个？

（3）四面体的顶点和各棱的中点共10点.求以这些点为顶点的四面体有多少个？

分析 这一组题目都要求确定四面体的个数，一般都可以采用排除法，把四点共面的情况排除.在排除时要充分考虑图形的特点，不能遗漏.在问题（1）中，四点共面的情况比较清楚，只有三个侧面，所以共有四面体：C46-3=12个.在问题（2）中，正方体中的四点共面可分为两类：一类是侧面；另一类是对角面.侧面有6个，对角面也有6个，所以共有四面体；C48-6-6=58个.在问题（3）中，四点共面的情况很容易遗漏，最容易发现的是在四侧面上的四点共面，有4C46种；其次是由各边中点所组成的四点共面，有3种；最隐蔽的是一条棱上的三点和它对棱中点所确定的四点共面，有6种.共有：C410-4C46-3-6=141个四面体.