排列组合中的几何问题和图形问题

2016-01-11 01:30朱海东
中学生理科应试 2015年12期
关键词:排列组合遗漏四面体

朱海东

一、几何问题

在几何图形中涉及到排列组合的问题主要有三

大类:有关空间四面体;平面三角形;两直线的交点.

解决这些问题,主要的思路是:充分利用几何图形的特点,排除不符合题意的情况,对所求问题进行分

类.

问题1 (1)求以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体的个数?

(2)求以正方体的顶点为顶点的四面体有多少个?

(3)四面体的顶点和各棱的中点共10点.求以这些点为顶点的四面体有多少个?

分析 这一组题目都要求确定四面体的个数,一般都可以采用排除法,把四点共面的情况排除.在排除时要充分考虑图形的特点,不能遗漏.在问题(1)中,四点共面的情况比较清楚,只有三个侧面,所以共有四面体:C46-3=12个.在问题(2)中,正方体中的四点共面可分为两类:一类是侧面;另一类是对角面.侧面有6个,对角面也有6个,所以共有四面体;C48-6-6=58个.在问题(3)中,四点共面的情况很容易遗漏,最容易发现的是在四侧面上的四点共面,有4C46种;其次是由各边中点所组成的四点共面,有3种;最隐蔽的是一条棱上的三点和它对棱中点所确定的四点共面,有6种.共有:C410-4C46-3-6=141个四面体.

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