核天体物理反应率拟合方法研究

核天体物理反应率拟合方法研究

周勇1,2，李志宏1，张海黔2

(1.中国原子能科学研究院 核物理研究所，北京102413；

2.南京航空航天大学 材料科学与技术学院，江苏 南京211100)

摘要：为进行大规模核天体网络运算，通常将核天体物理反应率拟合为与温度相关的数值表达式，以简化程序中的核物理输入量。通过分析国际上常用的几种核天体物理数据库，本工作得到了一种新的拟合方法，其对反应率的拟合精度较目前国际上通用的REACLIB和NACRE数据库的拟合方法的有明显改善。该拟合方法适用于直接反应和窄共振、宽共振、阈下共振和多谐共振反应，方便建立核天体物理反应率数据库。

关键词：核天体物理反应率；拟合方法；相对离差

中图分类号：O571.4 文献标志码：A

收稿日期：2014-09-10;修回日期：2014-12-12

作者简介：周勇(1992—)，男，四川广安人，硕士研究生，粒子物理与原子核物理专业

doi：10.7538/yzk.2015.49.11.1921

Study on Fitting Method

for Nuclear Astrophysics Reaction Rate

ZHOU Yong1,2, LI Zhi-hong1, ZHANG Hai-qian2

(1.ChinaInstituteofAtomicEnergy,P.O.Box275-46,Beijing102413,China；

2.CollegeofMaterialScienceandTechnology,

NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing211100,China)

Abstract:In large-scale nuclear astrophysics network computing, the nuclear astrophysics reaction rates were usually fitted to numerical reaction rates concerning temperature in order to reduce the input nuclear parameters. By analyzing the existing databases adopted internationally, a new fitting method was present in this paper, which can give much better fitting results than REACLIB and NACRE. This new fitting method can be applicable to direct reaction rates, isolated and narrow resonance reaction rates, multi-resonant reaction rates, subthreshold states and broad low energy resonances reaction rates, and is convenient to build nuclear astrophysics reaction rate data library.

Key words：nuclear astrophysics reaction rate; fitting method; relative scatter

核天体物理反应率是恒星演化研究中的重要物理量，它决定了核反应的路径，进而影响恒星演化的进程。核天体物理网络计算涉及数以万计的带电粒子和中子的核反应、核衰变以及它们随温度的变化曲线。尽管理论上可输入与这些核反应、核衰变相关的核物理参数，通过微积分运算求解任何温度下的天体物理反应率，但实际网络计算中由于参数多，程序需要耗费巨大的CPU运行时间，计算效率非常低。

为解决这个问题，实际运用中常把核天体物理反应率拟合成与温度相关的数值表达式，以简化核反应程序对质量、电荷、能量、几何参数以及反应截面等核反应参数的调用，从而提高网络计算的效率。经相应拟合后，核天体物理反应率的解析表达式转化为与温度相关的纯粹的数值表达式，弱化了物理参量的影响，拟合函数不再有明确的物理意义。

目前国际上常用的核天体物理数据库主要有REACLIB[1]和NACRE[2]，它们采用各自推导的拟合公式将反应率数值化，并制成核反应率数据库，可为核反应的网络计算程序所调用。本工作拟分析比较REACLIB和NACRE数据库采用的拟合方法，以提出一种精度更高的拟合公式。

1核天体物理反应率

在恒星物质中，恒星气体的原子核之间的相对运动速度的分布φ遵从Maxwell-Boltzmann分布：

(1)

其中:T为气体温度；m为原子核质量；v为原子核之间的相对运动速度；k为Boltzmann常数。

对于两体反应，核天体物理反应率可表示为它们的相对速度与反应截面σ(v)的卷积：

(2)

在实际计算中，采用质心系速度v和约化质量μ，将式(1)代入式(2)，并利用E=μv2/2，可得：

(3)

考虑天体物理S因子随能量的变化较反应截面的变化更平缓，为方便外推，通常用天体物理S因子代替式(3)中的反应截面，S因子为：

(4)

(5)

2反应率的拟合方法

反应率表达式(式(5))中的积分项通常无解析解，因此必须采用近似方法或数值积分的办法求解反应率。

NACRE数据库对于直接反应采用的拟合形式为：

(6)

NACRE数据库对于共振反应采用的拟合形式为：

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：下标NR+tail代表非共振和尾贡献，r、MR、SR、BR分别代表窄共振、多谐共振、阈下共振、宽共振；Nrate为所取T的最高次数；E0(T)、Er分别为伽莫夫峰和共振峰对应能量；Γ为共振峰半高宽；C0、C1、D1～5、ci等为拟合系数。总的反应率为式(6)～(10)的和。

REACLIB数据库对于直接反应和共振反应均采用下式拟合：

a4T1/3+a5T+a6T5/3+a7lnT)

(11)

当直接和共振过程同时存在时，总反应率可表示为两个表达式(式(11))之和。

不同的拟合公式拟合同一组实验数据时给出的拟合误差不同，而同一种拟合公式拟合不同实验数据时的拟合效果也有较大差别。另外，实验给出的反应率数据存在相应精确度及可信度，这对拟合也存在一定影响。统一讨论拟合公式的系统误差存在较大难度。为简化讨论，在具体拟合时假定实验数据绝对精准，且均可信。由于目前对反应率的实验测量误差远小于拟合过程产生的误差，所以上述假定是合理的。通常用相应的评价指标对比给出不同拟合公式的拟合精度，从而说明拟合公式的优越性。

为分析拟合结果的误差，定义相对离差r作为评价指标：

(12)

根据定义，r直接反映数据点的拟合情况，拟合数据与实验数据差别越小，即r越接近0，表明拟合效果越好。rmax反映了一组数据中拟合值与实验值偏差最大的情况，即能将该组数据拟合误差约束在内的精度。

为方便比较，将NACRE拟合直接反应的公式中的多项式取到T5项，使得它与REACLIB同样有7个拟合参数。用REACLIB方法拟合李二涛[3]所给直接辐射俘获反应6He(p,γ)7Li的天体物理反应率，拟合结果给出的rmax=0.1%。NACRE方法拟合同样数据得到的rmax=0.2%。可看出，对直接辐射俘获反应而言，REACLIB公式的拟合精度较NACRE的好。对于包含窄共振的7Li(p,γ)8Be反应[2]，REACLIB公式拟合的rmax=0.8%，NACRE方法拟合的有效区域内rmax=11%。它们拟合结果的比较示于图1。可看出，NACRE拟合方法的拟合相对离差分布较REACLIB大很多，拟合精度远不及REACLIB。对于包含阈下共振能级的13C(α,n)16O反应[4]，REACLIB方法拟合的rmax=1.3%，较NACRE方法得到的rmax=9%好[2]。对于含有多个共振能级的复杂核反应9Be(α,n)12C[2]，REACLIB方法拟合该反应的rmax=15%，NACRE方法在使用较多的拟合参数时给出了rmax=10%的稍好结果。总之，通过本工作的比较分析发现，绝大多数情况下，REACLIB方法的拟合精度较NACRE的高。

图1　REACLIB与NACRE方法 拟合 7Li(p，γ) 8Be反应率的比较 Fig.1　Comparison of 7Li(p，γ) 8Be reaction rate fitted by REACLIB and NACRE methods

在关键的核天体物理网络计算中，对核天体物理反应率的精度要求较高。比如，对于s过程路径上的核反应，反应率的精度要求在5%以内[5]，而部分关键核(如纯s过程、瓶颈和分支点涉及的核素)的反应率精度要求在1%以内[6]。对于大部分反应，REACLIB方法均能达到要求，但对于某些S因子随能量变化剧烈且含有复杂多级共振的核反应，REACLIB方法也无法达到网络计算要求的精度。使用拟合精度差的天体物理反应率进行计算，不仅会给模型计算带来很大的不确定性，也会让人们为提高实验精度的所有付出付诸东流，因此有必要寻找更好的核天体物理反应率拟合公式。

3对拟合公式的改进

考虑到REACLIB对于直接反应的拟合精度较NACRE的好，结合REACLIB与NACRE后，给出一新的拟合公式：

(13)

式中：第1个e指数项为直接反应REACLIB公式的形式且增加了a7这一项，是对直接反应的拟合，该项只是在数值方法上提高了拟合精度，并无明确的物理意义；第2个e指数项为共振反应NACRE公式的形式，是对阈下共振和宽共振的拟合；第3个e指数项为共振反应NACRE公式对窄共振与多谐共振的拟合形式。

第1个e指数项中增加了a7项后，拟合反应2H(d,n)3He[7]的rmax=0.3%，而REACLIB公式拟合的rmax=0.7%。更多的拟合结果表明：添加a7项能改善拟合效果。

图2　本工作得到的拟合方法 拟合 9Be(p，γ) 10B的反应率-温度曲线 Fig.2　Curve of 9Be(p，γ) 10B reaction rate vs temperature fitted by new fitting method

在数值分析中，采用不同的函数族得到的拟合形式具有不同的拟合精度。经检验，发现添加T7/3形式的项较添加其他形式的项，如T8/3、T2、T3、ln(T+1)等更好。REACLIB公式拟合中T的指数系列为0、-1、-1/3、1/3、1、5/3、7/3，这种形式也要较其他指数系列，如0、-1、1、2、3、4、5和0、-1、-1/3、1/3、2/3、1、4/3的形式要好。

利用本工作得到的拟合方法拟合宽共振反应9Be(p,γ)10B[2]的反应率，得到的拟合系数如下：a1=-7.604 015，a2=0.003 624，a3=-12.447 558，a4=39.352 005，a5=-18.774 197，a6=-18.670 023，a7=4.659 769，a8=6.114 395，a9=21.124 178，a10=27.844 288，a11=4.994 859，a12=9.635 295，a13=14.123 683，a14=-1.228 151。与实验给出的反应率数据相比，拟合的rmax=1.1%。从图2所示的本工作得到的拟合方法拟合9Be(p，γ)10B的反应率-温度曲线可看出，拟合数据点与原实验数据点在低温区和高温区均符合非常好。

利用本工作得到的拟合方法拟合复杂共振反应9Be(α,n)12C[2]的rmax=4%，较REACLIB方法给出的结果rmax=15%以及NACRE方法给出的结果rmax=10%均好。对于宽共振反应9Be(p,γ)10B[2]，本拟合方法得到的rmax为1.1%，好于REACLIB方法与NACRE方法的结果rmax=1.2%与rmax=7%。对于宽共振反应10B(p,γ)11C[2]，本工作得到的rmax=0.6%，也好于REACLIB方法的rmax=1.8%与NACRE方法的rmax=13%。拟合效果可从图3所示的本工作拟合的10B(p，γ)11C反应率与REACLIB数据库的比较明显看出。更多的拟合结果也表明，本工作得到的拟合方法较REACLIB方法和NACRE方法的拟合效果有明显改善。

图3　本工作拟合的 10B(p，γ) 11C反应率 与REACLIB数据库的比较 Fig.3　Comparison of 10B(p，γ) 11C reaction rate fitted by new fitting method and REACLIB

无论目前国际上通用的核天体物理反应率拟合公式还是本工作得到的拟合方法，均只针对实验数据涉及的温度范围内的反应率进行拟合。由于外推过程中的误差无法准确估计，且通常外推计算存在较大的误差(>10%)，拟合公式不适用于实验涉及温度范围外的反应率的计算，即不能外推计算。

4结论

本工作系统研究了核天体物理反应率的拟合方法，使用REACLIB和NACRE数据库给出的公式拟合了大量实验数据，结果发现两者的拟合精度仍不能满足核天体物理网络计算的要求。为改进REACLIB的拟合公式，通过增加对拟合反应率较敏感的T7/3项，并将多种共振反应相关的参数项添加到拟合公式中，形成包含14个待定系数的拟合方程。该拟合方法涵盖了所有核反应的类型，适用于任何核反应数据的拟合。与已有的天体物理反应率数据库相比，改进后的拟合方法有如下优点：

1) 适用范围广，可进行天体物理反应网络中的任何反应类型的拟合；

2) 拟合精度高，即使是相当复杂的多共振9Be(α, n)12C反应体系，本拟合公式可给出相对离差小于4%的拟合精度，好于REACLIB数据库给出的15%和NACRE数据库给出的10%；

3) 统一性好，避免了REACLIB和NACRE直接反应用一种公式、有共振时用另一种公式的拟合方法，适用于建立标准化的核天体物理反应率数据库。

参考文献：

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