以凑微分关系简化第一类换元法和分部积分法教学

陈剑军

摘要：一元函数积分学是高等数学中的重要内容，其中的第一类换元法和分部积分法是要求掌握的内容。学生在应用这两种方法进行计算时，往往觉得要用到两种技巧来实现、缺乏统一的模式一以贯之。这和教材的设计有很大关系：多数教材都是割裂处理这两个方法。为此提出将这两种方法统一到一个基本的技巧—凑微分。教学实践表明：熟练应用凑微分的常见关系式，可以明显提高学生用这两种方法计算积分的能力。

关键词：凑微分；第一类换元法；分部积分法

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）48-0214-02

一、引言

一元函数积分学是高等数学中的重要内容，也是学习二重积分的基础。在积分计算中，凑微分方法既是重点，也是难点，特别是对于被积函数比较复杂的情况凑微分更是困难。对要求学生掌握的内容，教材常见的安排顺序是：一元函数的不定积分（不定积分的概念和性质、第一类换元积分法—也叫凑微分法、第二类换元积分法、分部积分法等）、一元函数的定积分（定积分的概念和性质、微积分基本公式、第一类换元积分法、第二类换元积分法、分部积分法等）；也有的教材（如：复旦大学出版社出版的《高等数学》）做如下不同的安排：定积分的概念和性质、微积分基本定理、不定积分的概念和性质、不定积分的第一类换元法及第二类换元法、定积分的计算，等等[1，2]。（一般来说，上述内容是要求学生掌握的[3]。）无论哪种安排顺序，学生往往感觉计算很繁杂，往往觉得第一类换元法和分部积分法是割裂的两种方法，缺乏一个明晰的思路统一贯穿下列问题：不定积分的换元和分部积分法、定积分的换元和分部积分法。为了使学生更好地掌握这些计算，提出以凑微分的思想为基础，统一第一类换元法和分部积分法：学生只要熟悉凑微分的关系式，就能较熟练地进行基本的积分计算。

二、第一类换元积分法“凑微分”关键探析

由于积分是微分的逆运算，没有固定的公式和模式可以简单套用，往往需要对积分式子进行适当的变形和换元才能够利用积分公式计算出来，所以，初学者在学习的过程中往往要多次尝试，颇费时间。第一换元积分法（也叫凑微分法）是一种重要的基本积分方法，它的关键步骤是“凑微分”。其公式如下（为简练计，略去公式的条件部分，下文同）：

这时后者一般不难计算。应用该公式有两个关键环节：第一个环节是第一步的凑微分，第二个环节是第三步的计算：学生往往在用了分部积分公式后不知如何继续。一般的规律是将u（x）的微分计算出来，这样可以简化积分的计算。至于第一个环节，也是遇到与第一类换元积分相类似的问题：在待计算的积分中，被积函数是一个整体，不会标志出哪个是u（x），哪个是v（x）.学生要掌握该公式，必须要能主动、比较熟练地将整个被积函数看成u（x）v'（x）的形式，也就是能看出将被积函数中哪个部分拿出来凑微分，这里所需要的技巧和凑微分法是一致的。如此讲授分部积分法，不仅可以减少学生需要掌握的技巧，而且较目前教材处理的方法更加简明。

四、结束语

不难看出，经过处理，凑微分的技巧可以统一应对第一类换元法和分部积分法的计算，能降低学生学习的难度。教学实践表明：学生认为课堂教学所讲授的方法较教材更加容易掌握，作业和测试也说明了这一点。因此，文中所提出的方法可资借鉴。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]黄立宏.高等数学[M].第三版.上海：复旦大学出版社，2008.

[3]http：//math.fudan.edu.cn/gdsx/jxdg.html.endprint