无源线性网络与Bott—Duffin综合

范迪 刘英敏 吕常智

摘要：论文介绍了无源网络的阻抗函数及正实函数的性质。无源线性网络可以实现具有正实函数特性的阻抗函数，且仅能实现正实函数。Bott-Duffin综合建立了线性网络和正实函数的对应关系，对于把电工原理课程和自动控制原理联系在一起提供了重要的指导方法。

关键词：无源网络；阻抗函数；正实函数；Bott-Duffin综合

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）50-0187-03

一、前言

无源网络综合主要研究通过有限多个电阻、电感、电容及变压器等无源元件来实现给定网络描述函数的问题[1]。由有限个电阻、电感及电容等无源元件所组成的线性网络，称为无源线性网络，研究其输入导抗（即阻抗或导纳的总称）的性质，在电工课程的教学中有重要意义[2]。

本文介绍了无源线性网络的阻抗特性，这是一个复变函数作为网络阻抗的必要条件，而满足这些条件的阻抗也恰好是无源线性网络可以实现的。Bott和Duffin构造出了一种无变压器综合方法，即著名的Bott-Duffin综合法。它指出了无源网络的能力和局限，并且将无源网络和正实函数一一对应起来，使得无源网络的研究转变为某类单复变函数的研究。Bott-Duffin综合被自然地应用到自动控制系统的综合中，搭起了电工原理课程和自动控制系统的桥梁。

二、无源线性网络的阻抗特性与正实函数

由R、L、C等无源元件组成的网络，其驱动点函数是有理正实函数（下文介绍），这是无源单口网络可以实现的充分必要条件，是无源网络综合的基础。作为单个元件，电感的电压—电流关系式是：u（t）=Ldi（t）/dt。其中u（t）、L、i（t）分别是电感两端的电压、电感值和电流。利用Laplace变换，可以写成U（s）=sLI（s），s是复变量。电阻和电容的关系式分别是U（s）=RI（s），U（s）=I（s）/Cs。多个电阻、电感和电容串联或者并联可以组成一个无源线性网络。记这个无源网络的阻抗为Z（s），则Z（s）作为单个复变量s的函数，它具有以下特性：

（1）Z（s）是一个有理函数，也就是两个多项式的比值；

（2）对实数s，Z（s）是实数；

（3）对实部大于零的复数s，Z（s）的实部也大于零。

以上三个特性都与电路网络的特性相对应。

两个有理函数经过（1）的运算后，仍然是有理函数，故特性（1）成立；如果外加的电压是直流电，网络表现为纯电阻特性，特性（2）成立；特性（3）指出无源线性网络的电压、电流相位差不超过π，或者反相无法实现。特性（3）对无源网络成立也是这类网络不能持续输出能量的结果。满足这三个特性的复变量函数叫作正实函数（Positive Real Function，简记为PRF），它是阻抗函数可以由网络函数实现的必要条件。正实函数及其性质是无源网络综合理论的基础。正实函数的其他一些特性可以由定义中的三个特性导出，列举如下：分子分母多项式的系数是实数；分子分母多项式的次数最多差一次；零、极点全部在左半平面和虚轴上（或无穷远处）。因此，任一正实函数必属于下列四种情形之一：在虚轴上有极点；在虚轴上有零点；在虚轴上不等于零，实部有最小值R>0；有一个频率ω>0，使得Z（ω）=jωL，其中L>0。

三、Bott-Duffin综合

（一）Bott-Duffin综合的规则

具有上述的三个特性的无源线性网络的阻抗函数构成所谓的正实函数，是否任何一个正实函数都可以由一个无源网络实现，或者说，是不是任意给定一个正实函数，总能构造一个网络，使它的阻抗函数正好是给定的正实函数呢？Bott-Duffin综合的内容肯定地回答了这个问题，即把无源网络和正实函数一一对应起来，把无源网络的研究转变成某类单复变函数的研究。

把正实函数的分子和分母多项式的次数相加得到的非负整数叫作函数的阶。明显地，零阶函数，也就是常数函数，可以由单个电阻实现。再假设低于n阶的函数是可以实现的，Bott-Duffin综合的四条规则如下：

（1）如果Z（s）在虚轴上有极点，可以用如图1（a）所示的一个电感和电容并联组成的谐振元再与一个Z′（s）串联实现，其中Z′（s）是比Z（s）低阶的阻抗函数。

（2）如果Z（s）在虚轴上有零点，可以用如图1（b）所示的一个电感和电容串联组成的谐振元再与一个Z′（s）并联实现，其中Z′（s）是比Z（s）低阶的阻抗函数。

（3）如果Z（s）的实部在虚轴上不等于零，设R是一个正数（可以认为是电阻），把Z（s）写成Z（s）=R+Z0（s），那么Z0（s）是阶次不大于Z（s）的正实函数，从而可以用如图1（c）所示电路实现。

（4）若上述三种简化均不能进行，则存在ω>0使Z（jω）是纯虚数。假设Z（jω）=jωL，其中L>0。利用P.I.Richards的一个关键定理，令

式（2）为Richards变换，实数k>0使得L=Z（k）/k。注意到若Z（s）为正实函数，则一定存在k>0使得通过Richards变换所得的函数在虚轴上存在零点或极点。在下节中我们将指出R（s）是一个阶数不超过Z（s）的正实函数。由于R（s）为在虚轴上存在零点或极点的正实函数，则可进一步抽取出电抗元件得到具有更低阶数的正实阻抗函数。总可以找到一个k，使L=Z（k）/k，这是因为当k从0变到∞时，L=Z（k）/k从∞变到0，对于这个k值，有R（jω）=0，也就是R（s）在虚轴上有零点。由式（2）解出Z（s），得：

根据数学归纳法，通过上述的四条规则可以实现任何一个正实函数。这样，通过Bott-Duffin综合，就建立起了无源线性网络与正实函数的对应，任何一个正实函数都是可实现的，都对应到一个网络；同时，任何一个网络又可以计算其阻抗，得到一个正实函数。

Bott是匈牙利籍著名的数学家，BottDuffin综合是收入他的论文全集的唯一一篇关于电气网络的论文，全文只有半頁，文章刊出时，Bott只有二十六岁，还是一名研究生。他改进了Brune关于网络综合的结果，用规则d代替了原来的第四条规则，去掉了理想变压器的使用。他由于这篇文章被普林斯顿高级科学研究院的奥本海姆看中，开始了他的纯粹数学家的职业生涯。

（二）Bott-Duffin综合法规则的详细说明

由于阻抗Z和对应的容抗Y=1/Z是正实函数，任何极点必须单阶且其留数为正实数。假设W是至少一个极点在虚轴或无穷远点的正实函数，则可写成

通过计算得

四、自动控制系统综合的实例

在自动控制系统的课程中，相位补偿器必须是可以实现的，也就是说，它的传递函数必须是正实的。假设一个相位超前-滞后补偿器的传递函数为

它可以由图3的无源网络实现。

五、总结

无源网络是电工课程的重要内容，它的阻抗函数是正实函数。另一方面，任意给定一个正实函数，可以构造仅由有限个电阻、电容和电感等无源器件通过串联或并联组合而成的网络来实现，Bott-duffin综合就实现了这一功能。本文给予了说明和验证。结合Kirchhoffs的电压、电流定律，无源线性电路的大部分内容可以总结为三句话：电场是保守场（电压定律）；电荷是守恒的（电流定律）；线性网络和PRF一一对应。目前多数的教学安排中，单复变函数的课程通常安排在电工原理课程之后，但教师可以把这三句话贯穿在教学中，为学生指明学习的重点和方向。

参考文献：

[1]陆志刚.线性无源二端网络的近代综合法[J].电信科学，1957，（05）：45-47.

[2]邱关源.电路[M].第5版.高等教育出版社，2006：75-296.