离散Lotka-Volterra偏害模型周期正解的存在性

陈凤德,张茂石,韩荣玉

(福州大学数学与计算机科学学院,福建福州　350116)



离散Lotka-Volterra偏害模型周期正解的存在性

陈凤德,张茂石,韩荣玉

(福州大学数学与计算机科学学院,福建福州350116)

摘要:研究了一类非自治离散Lotka-Volterra偏害模型,借助重合度理论得到了一组保证系统存在周期正解的充分性条件.

关键词:偏害作用; 重合度; 周期正解

1　预备知识

借助向量场分析的方法研究了系统(2)的轨线走向问题.式中,x≥0,y≥0,a1>0,a2>0,b1<0,c1<0,c2<0均为常数. 最近,韩荣玉等[6]认为生态系统是随着季节变化而变化的,故需要考虑时变的非自治系统,他们提出了如下两种群偏害关系模型:

(3)

如文献[3]所言,对生命短、世代不重叠的种群,或者虽然是生命长、世代重叠的种群, 但在其数量比较少时,用差分方程(或者说离散动力模型)来表示更为合理. 因此,本文提出了与系统(3)相对应的离散的两种群偏害模型:

2　主要结果

为了证明周期正解的存在性, 引入重合度理论中的延拓定理.

(a) 对任意的λ∈(0,1),方程Lx=λNx的解满足x∉∂Ω∩domL,

(b) 对任意的x∈∂Ω∩KerL,QNx≠0而且deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0,

引理3[8]设g:Z→R为ω-周期序列,即g(k+ω)=g(k),则对任意固定的k1,k2∈Iω及k∈Z,有：

设u=u(k)∈X是系统(6)的对应于某个λ∈(0,1)的解,将式(6)两端同时从0到ω-1关于k求和,得到:

由式(7)和式(8),有

由式(8)有

即

从而由式(9)、式(11)和引理3可得

由式(8)也有

即

从而由式(9)、式(13)和引理3可得

由式(12)和式(14)有

由式(7)有

由此可知

从而由式(9)、式(16)和引理3可得

由式(7)和式(12)也有

注意到定理的条件,有

于是

从而有

由式(17)和式(19)有

显然,Hi(i=1,2)的选取与λ的选取无关.由定理的已知条件知,代数方程组

令H=H1+H2+H3,其中,H3>0充分大,使得

令

Ω={u(k)=(u1(k),u2(k))T∈X:‖u‖

则Ω满足引理1中的条件(a).当u∈∂Ω∩KerL=∂Ω∩R2时,u是R2中的常值向量且‖u‖=H,于是

因为式(21)存在唯一的正解,由已知条件直接计算知

注定理表明: 当第一个种群的内禀增长率足够大、第二个种群的种内密度制约因素足够大而内禀增长率不大(这表明第二个种群的种群数量不可能太大,从而其对第一个种群的影响也就有限)时,两个种群能以周期震荡的形式共存.

参考文献:

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【责任编辑:李艳】

ExistenceofPositivePeriodicSolutionofaDiscreteLotka-VolterraAmensalismModel

Chen Fengde, Zhang Maoshi, Han Rongyu

(CollegeofMathematicsandComputerScience,FuzhouUniversity,Fuzhou350116,China)

Abstract:A non-autonomous discrete Lotka-Volterra amensalism model is studied. By using a theorem of coincidence degree, a set of sufficient conditions which guarantee the global existence of positive periodic solutions of the system is obtained.

Key words:amensalism model; coincidence degree; positive periodic solution

作者简介:陈凤德(1974-),男,福建屏南人,福州大学教授.

基金项目:国家自然科学基金资助项目(11201075,11361068);福建省自然科学基金资助项目(2013J01011).

收稿日期:2015-01-20

文章编号:2095-5456(2015)03-0251-04

中图分类号:O175.14

文献标志码:A