同阶元型为2 的幂的群

邹 玄，沈如林

(湖北民族学院 数学系，湖北 恩施445000)

在有限群里，同阶元集合的长度是很重要的，它的值等于同阶元共轭类长度的和．文献［1］It介绍了共轭型的概念，设G是一个有限群，{n1，n2，…，nr}为正整数集合，并且ni为G中的元的中心化子在G中的指数，这里不妨假设n1＞n2＞…＞nr=1，则向量(n1，n2，…，nr)被称作为群的共轭型，显然只有Abel 群的共轭型为(1)，文献［1－2］It证明了有限群中共轭型为(n1，1)和(n1，n2，1)的群是幂零群和可解群，后来文献［3］研究了有限单群中共轭型为(n1，n2，n3，1)的类型． 类似，在上面It给出共轭类型的概念里，还将共轭类长度替换同阶元长度，并且能得到一个类似的定义，即同阶元型．

定义1 设G是一个有限群，定义g～h，如果g，h∈G且有相同的阶，有这种关系的等价类的集合长度称作G的同阶元型．

文献［4］研究了同阶元型{1，15，20，24}的群，证明了此时这样的群只能是交错单群A5．文献［5］分类了同阶元型(n1，1)和(n1，n2，1)的群．最近文献［6］研究了某些单群用同阶元型刻画的问题． 记Zn为n阶循环群，并记;记为的素因子集合，并记π'为π 在素数集合中的补，G的子群H称为π－Hall 子群，若π(H)⊆π 且π(|G|/|H|)∩π =φ．在本文中将研究同阶元型为{1，2，22，…，2m}的群，证明下面的定理．

定理1 设G是群(不必有限)，若G的同阶元型为{1，2，22，…，2m}，其中m为有限数，则G同构于群Z2m+1×Zr1×Zr2×…×Zrt的某个子群，其中ri=2ei+1 为费马素数(ei≤m，1≤i≤t)．

注意因为费马素数紧紧发现F0=3，F1=5，F2=17，F3=257，F4=65537，有人猜想不再存在其它的费马素数了．

1 一些引理

引理1［7］(Frobenius)设G是有限群，n为的正整数因子，则n|f(n)．

引理2 φ(n)|sn(其中sn表示G中n阶元的个数，φ(n)表示Euler 函数)．

引理3 若G的Sylow 2－子群循环，则G存在正规2－补，即存在2'－Hall 正规子群．

证明 设P2为G的Sylow 2 子群且循环，则由N/C定理知:NG(P2)/CG(P2)＜～Aut(P2)而循环群P2的自同构的阶为φ(|P2|)，它仍为2 的幂，由Lagrange 定理知:|NG(P2)/CG(P2)|是φ(|P2|)的因子，且|NG(P2)/CG(P2)|为奇数，故NG(P2)=CG(P2)，由Burnsidep－幂零准则知:存在2'－Hall 正规子群，即存在2'－Hall 正规子群．

引理4［4］设G是一个群，且G中的元素个数大于2，如果G中同阶元的最大阶为s，s为有限数，则G有限，并且|G|≤s(s2－1)．

引理5 设G是有限群，若G的同阶元型为{1，2，22，…，2m}，则的素因子为2 或费马素数．

证明 设p∈π(G)，则p|1 +sp，而sp=2i(i=1，2，…，m)．故p=2 或者为费马素数．

引理6 设G是有限群，同阶元型为{1，2，22，…，2m}，若G为偶阶群，则Sylow 2－子群循环且正规．

证明 用数学归纳法证明s2i=2i－1，其中i≥0．显然2∈π(G)，当i=1 时，成立． 若i时成立，考虑i+1的情形，因为s2i=2i－1，由Frobenius 定理知:

为了完成定理的证明，还需要一些关于素数的结论．把rm(a)叫做am－1 的本原素因子，如果rm(a)|am－1，但rm(a)不整除ai－1(i＜m)．显然，对本原素因子p=rm(a)，则m|p－1 总是成立的． 设Φn(x)为第n个本原多项式，则xn－1 可以分解成若干本原多项式的乘积，其中本原多项式的个数为n的某个素因子，即xn－1 =∏d|nΦd(x)．下面的引理说明了本原素因子的存在性，以及本原素因子与本原多项式的密切联系．

引理7 设qn－1 至少有一个本原素因子且n≥3，则Φn(q)=(P(n)，Φn(q))·Φn(q)这里P(n)是n的最大素因子，Zn(q)是qn－1 包含所有本原素因子的最大素因子．

证明 由文献［9］中的207 页及文献［7］中的引理2．1 有:Zn(q)|Φn(q)以及Φn(q)|Zn(q)·P(n)，从而Φn(q)=(P(n)，Φn(q))·Zn(q)．

引理8［9］设p是qk－1 的本原奇素因子，则p|Φf(q)当且仅当f=kpj，j≥0．

引理9［10］(Schru－Zassenhaus) 设G为有限群，N为G的正规Hall 子群，则N在G中存在补子群，且任何两个补子群共轭．

2 定理1 的证明

根据引理4，不妨设G为有限群，而由引理3、引理5 和引理9 知:G≅Z2m1×K，其中m1≤m+1，设p∈π(K)，由引理5 知:p为费马素数，设p=2e+1，(e≤m)．由引理2 知:Sylowp－子群方次数为p，由引理1 有:p|1 +sp，即(1 +2e)l|1 +2i，(e≤i≤m)，因为i≥e，由引理7 和引理8 有:l=1 且sp=2pt·x=2i，(t≥1)，故G中的Sylowp－子群的个数为2pt·x－e．又因为G中的Sylow 子群的个数为K中的Sylow 子群的个数，故Sylowp－子群的个数为素数，即2pt·x－e=1，从而i=e，这样G中的Sylowp－子群P正规且|P| =p，故G同构于Z2m+1×Zr1×Zr2×…×Zrt的一个子群，这里ri为费马素数且ri－1≤2m，i=1，2，…，t．即证．

推论1 设G为群，G的同阶元型为某些2 的幂的集合，则G为幂零群．

本结果证明了当一个群G的同阶元型与循环2－群的同阶元型一致，G必为幂零群;当然可以类似的证明如果同阶元型里面的元为2 的幂，可能不是连续的幂，也可以得到同样的结果，比如同阶元型为{1，4}，这样的群必然为Z5，Z10，但是否当G的同阶元型与循环群的同阶元型一致时，G仍为幂零群?

［4］ Shen R，Shao C，Jiang Q，et al．A new characterization A5［J］．Monatshefte Fur Mathematik，2010，160:337－341．

［5］ Rulin Shen．On groups with given same－order types［J］．Communicationin Algebra，2012，40:2140－2150．

［6］ Shitian Liu．A characterization of Projectine Special Unitary groupU3(5)by use［J］．Arab Jonrnal of Wathematical Sciences，2014，20(1):133－140．

［7］ Feit W．On large Zsigmondy primes［J］．Proc Amer Math Soc，1988，120:29－36．

［8］ Malle G，Moreto A，Navarro G．Element orders and Sylow structure［J］．Mathematische Zeitschrift，2006，252:223－230．

［9］ Ribenboin P． The Book of Prime Number Records，Second Edition［M］．New York:Springer－Verlag，1989．

［10］ 徐明耀．有限群导引(上册)［M］．北京:科学出版社，2006．